Question

如圖，已知拋物線y=a(x-1)2-

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與x軸交于A，B兩點（A在左邊），拋物線經過點D（5，-3），頂點為M．
（1）寫出M點的坐標，并指出函數y有最大值還是最小值？這個值是多少？
（2）求a的值；
（3）以AB為直徑畫⊙P，試判定點D與⊙P的位置關系，并證明．

Answer 1

分析：（1）根據二次函數頂點式求法直接的出二次函數的頂點坐標以及二次函數的最值；
（2）把D（5，-3）代入y=a(x-1)2-

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，直接求出a的值；
（3）首先求出二次函數與x軸的交點坐標，進而求出P點的坐標，得出PE=4，DE=3，從而得出PD的長，判斷出D與⊙P的位置關系．

解答：解：（1）∵拋物線y=a(x-1)2-

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，
∴頂點為M（1，-

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），
函數y有最小值是-

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；

（2）把D（5，-3）代入y=a(x-1)2-

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3

得：a=

1

3

；

（3）結論：點D在⊙P上，
∵y=

1

3

(x-1)2-

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令y=0，得：x₁=-4，x₂=6，
∴A（-4，0），B（6，0），
∴AB=10，
∵AB為⊙P的直徑，
∴P（1，0），
∴⊙P的半徑r=5，
過點D作DE⊥x軸，垂足為點E，則E（5，0）
∴PE=5-1=4，DE=3，
∴PD=

PE2+DE2

=5，
∴PD與⊙P的半徑相等，
∴點D在⊙P上．

點評：此題主要考查了二次函數的最值以及頂點式和點與圓的位置關系等知識，判定點與圓的位置關系得出點與圓心距離等于半徑是解決問題的關鍵．