Question

如圖，△ABC是邊長為3的等邊三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，以D為頂點作一個60°角，使其兩邊分別交AB于M交AC于點N，連接MN，則△AMN的周長為（ ）

A．5
B．6
C．7
D．8

Answer 1

【答案】分析：要求△AMN的周長，根據題目已知條件無法求出三條邊的長，只能把三條邊長用其它已知邊長來表示，所以需要作輔助線，延長AB至F，使BF=CN，連接DF，通過證明△BDF≌△CND，及△DMN≌△DMF，從而得出MN=MF，△AMN的周長等于AB+AC的長．
解答：解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，
∴∠BCD=∠DBC=30°，
∵△ABC是邊長為3的等邊三角形，
∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°，
∴∠DBA=∠DCA=90°，
延長AB至F，使BF=CN，連接DF，
在△BDF和△CND中，
∵，
∴△BDF≌△CND（SAS），
∴∠BDF=∠CDN，DF=DN，
∵∠MDN=60°，
∴∠BDM+∠CDN=60°，
∴∠BDM+∠BDF=60°，
在△DMN和△DMF中，
∵，
∴△DMN≌△DMF，
∴MN=MF，
∴△AMN的周長是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6．
故選B．
點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質；主要利用等邊三角形和等腰三角形的性質來證明三角形全等，構造另一個三角形是解題的關鍵．