Question

已知：如圖，直線y=kx+b與x軸交于點A（8，0），與y軸交于點B（0，16），與直線y=x相交于點C．P（0，t）是y軸上的一個動點，過點P作直線l垂直y軸，與直線y=x相交于點D，與直線y=kx+b相交于點E，在直線l下方作一個等腰直角三角形DEF，使DF=DE，∠EDF=90°．
（1）求直線AB的解析式和C點的坐標；
（2）當點F落在x軸上時，求t的值；
（3）當t為何值時，以A，E，P，F為頂點的四邊形是梯形？

Answer 1

【答案】分析：（1）把點A、B的坐標代入直線y=kx+b得到關于k、b二元一次方程組，求解得到k、b的值，即可得解，聯立兩直線解析式，求解即可得到點C的坐標；
（2）利用直線解析式表示出點D、E的坐標，然后求出DE的長度，再根據點F在x軸上，DE=DF列式計算即可得解；
（3）根據梯形的底邊平行，分①PE∥AF時，點F在x軸上，根據（2）的結論解答，②PF∥AE時，先根據點D、E的坐標求出DE的長度，然后表示出點F的坐標，再利用待定系數法求出直線PF的解析式，然后根據平行直線的解析式的k值相等列式求解即可得到t的值；③AP∥EF時，分點P在y軸正半軸與負半軸兩種情況求出DE的長度，然后表示出點F的坐標，再利用待定系數法求出直線AP、EF的解析式，然后根據平行直線的解析式的k值相等列式求解即可得到t的值．
解答：解：（1）∵直線y=kx+b與x軸交于點A（8，0），與y軸交于點B（0，16），
∴，
解得，
所以，直線AB的解析式為y=-2x+16，
聯立，
解得，
所以，C點坐標為（，）；

（2）根據題意，點D、E的縱坐標都是t，
所以，-2x+16=t，
解得x=，
所以，點D（t，t），E（，t），
DE=|-t|，
∵點F在x軸上，
∴|-t|=t，
即-t=t或-t=-t，
解得t=或t=16，
所以，t的值為，16；

（3）①PE∥AF時，點F在x軸上，根據（2）的結論，
t=或16，
當t=16時，P、B、E三點重合，以A，E，P，F為頂點的是三角形，不符合題意舍去，
所以，t=；

②PF∥AE時，點D在點E的左邊，
∵D（t，t），E（，t），
∴DE=-t=，
點F的縱坐標為：t-=，
∴點F（t，），
設直線PF的解析式為y=ex+f，
則，
解得，
所以，直線PF的解析式為y=x+t，
∵PF∥AE，
∴=-2，
解得t=；

③AP∥EF時，（i）若點P在y軸正半軸，則DE=t-=，
點F的縱坐標為t-=，
∴點F的坐標為（t，），
設直線EF的解析式為y=cx+d，則，
解得，
∴直線EF的解析式為y=-x+，
又∵A（8，0），P（0，t），
∴直線AP的解析式為y=-+t，
∵AP∥EF，
∴-=-1，
解得t=8，

（ii）若點P在y軸負半軸，則DE=-t=，
點F的縱坐標為t-=，
∴點F的坐標為（t，），
設直線EF的解析式為y=mx+n，則，
解得，
∴直線EF的解析式為y=x+，
又∵A（8，0），P（0，t），
∴直線AP的解析式為y=-+t，
∵AP∥EF，
∴-=1，
解得t=-8，
綜上所述，t的值為，，8，-8．
點評：本題是一次函數的綜合題型，主要涉及到待定系數法求一次函數解析式，聯立兩直線解析式求交點坐標，等腰直角三角形的性質，以及梯形的兩底邊互相平行，（3）求解思路比較復雜，且運算量較大，要分情況討論求解．