Question

已知⊙O₁與⊙O₂相交于點A、B，AB=8，O₁O₂=2，⊙O₁的半徑為5，那么⊙O₂的半徑為    ．

Answer 1

【答案】分析：分兩種情況考慮：當兩圓心O₁與O₂位于公共弦AB兩側時，如圖所示，由AB為兩圓的公共弦，可得出兩圓心的連線垂直平分AB，由AB的長求出AC的長，Rt△AO₁C中，由⊙O₁的半徑及AC的長，利用勾股定理求出O₁C的長，而O₁C大于O₁O₂，矛盾，故此情況不成立；當兩圓心O₁與O₂位于公共弦AB一側時，如圖所示，由AB為兩圓的公共弦，可得出兩圓心的連線垂直平分AB，由AB的長求出AC的長，Rt△AO₁C中，由⊙O₁的半徑及AC的長，利用勾股定理求出O₁C的長，由O₁C-O₁O₂求出O₂C的長，在Rt△AO₂C中，根據O₂C及AC的長，根據勾股定理求出AO₂的長，即為⊙O₂的半徑，綜上，得到⊙O₂的半徑．
解答：解：分兩種情況考慮：
當兩圓心O₁與O₂位于公共弦AB兩側時，如圖所示：

∵AB為⊙O₁與⊙O₂的公共弦，
∴O₁O₂⊥AB，且C為AB的中點，
∵AB=8，∴AC=AB=4，
在Rt△AO₁C中，AO₁=5，AC=4，
根據勾股定理得：O₁C==3，
又O₁O₂=2＜3=O₁C，矛盾；
當兩圓心O₁與O₂位于公共弦AB一側時，如圖所示：

∵AB為⊙O₁與⊙O₂的公共弦，
∴O₁O₂⊥AB，且C為AB的中點，
∵AB=8，∴AC=AB=4，
在Rt△AO₁C中，AO₁=5，AC=4，
根據勾股定理得：O₁C==3，
又O₁O₂=2，∴O₂C=O₁C-O₁O₂=3-2=1，
在Rt△AO₂C中，O₂C=1，AC=4，
根據勾股定理得：AO₂==，
綜上，⊙O₂的半徑為．
故答案為：
點評：此題考查了兩圓相交的性質，涉及的知識有：勾股定理，以及連心線與公共弦的關系，利用了分類討論及數形結合的數學思想，本題注意考慮兩種情況，得出符合題意⊙O₂的半徑．