Question

如圖，△AOB是等邊三角形，點O是坐標原點，點B的坐標為（2，0）
（1）求點A的坐標；
（2）將△ABO繞點A逆時針旋轉180°后，求點B的對應點B′的坐標；
（3）將△ABO繞點A逆時針旋轉90°后，求點B的對應點B″的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）作△AOB底邊OB上的高AC，然后根據等邊三角形的性質和勾股定理求出A點坐標．
（2）將△ABO繞點A逆時針旋轉180°，就是作各點關于A點的對稱點，而B′正好在y軸上．
（3）如圖找出B″的位置，然后根據繞點A逆時針旋轉90°和三角形的性質得到一個二元一次方程組，從而求出BE和B″E的長度，再確定B″的坐標．
解答：解：（1）過點A作AC⊥x軸于點C，
∵△ABO是等邊三角形，OB=2，
∴OC=1，由勾股定理可得AC=，
∴點A的坐標為（1，）；

（2）連接BB′和B′O，則BB′A在同一直線上，
∵BA=AB′=OA=2，
∴∠BOB′=90°，
∴B′在y軸上，
∵BB′=4，OB=2，
∴OB′=2，
B′的坐標為（0，2）；

（3）如圖，由題意可知∠BAB“=90°AB=AB″=2，
∴BB″=2，
作B″E⊥x軸于點E，連接OB″，
∵∠OAB″=90°+60°=150°，
AO=AB″，
∴∠AOB″=15°，
∴∠EOB″=45°，
∴OE=EB″，
設BE=x，
則x²+（x+2）²=（2）．
解得：x₁=-1+，x₂=-1-（不合題意，舍去）
∴OE=B″E=+1，
∴點B″的坐標為（+1，+1）．
點評：本題考查了坐標與圖形變化-旋轉的綜合運用．關鍵是通過旋轉，確定特殊三角形，運用勾股定理求線段長度，確定點的坐標．