Question

（2005•雙柏縣）已知：如圖，在平面直角坐標系中，點C在y軸上，以C為圓心，4cm為半徑的圓與x軸相交于點A、B，與y軸相交于D、E，且=．點P是⊙C上一動點（P點與A、B點不重合）．連接BP、AP．
（1）求∠BPA的度數；
（2）若過點P的⊙C的切線交x軸于點G，是否存在點P，使△APB與以A、G、P為頂點的三角形相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）點P可以在優弧AB上或在劣弧AB上，只需求得其中的一種情況，再根據圓內接四邊形的對角互補即可求得另一種情況．根據垂徑定理得到弧BE=弧AE，則弧BD=弧BE的2倍，再根據半圓的度數是180°，從而求得弧BE的度數是60°，則劣弧AB的度數是120°，進而求得∠BPA的度數；
（2）分兩種情況，即點P在y軸的左側和右側，若相似，根據相似三角形的對應角相等，分析得到兩個三角形必是直角三角形，再結合（1）中求得的角的度數，運用解直角三角形的知識求解．
解答：解：（1）根據垂徑定理得到弧BE=弧AE．
又=，則弧BD=弧BE的2倍．
所以劣弧AB的度數是120°．
∴∠BPA=60°或∠BPA=120°；

（2）設存在點P，使△APB與以點A、G、P為頂點的三角形相似．
①當P在弧EAD上時，（圖1）GP切OC于點P，∴∠GPA=∠PBA．
又∵∠GAP是△ABP的外角，∴∠GAP＞∠BPA，∠GAP＞∠PBA．
欲使△APB與以點A、G、P為頂點的三角形相似，須∠GAP=∠PAB=90°，
∴BP為⊙C的直徑．
在Rt△PAB中，∠BPA=60°，PB=8，
∴PA=4，AB=4，OA=2，P（2，4）
②當P在弧EBD上時，（圖2）在△PAB和△GAP中，
∵∠PBA是△GBP的外角，
∴∠PBA＞∠PGB，
又∵∠PAB=∠GAP，
欲使△APB與以點A、G、P為頂點的三角形相似，須∠APB=∠PGB，
∴GP切⊙C于點P，
∴∠GPB=∠PAG．
由三角形內角和定理知：∠ABP=∠GBP，
∴∠ABP=∠GBP=90°．
在Rt△PAB，∠BPA=60°，PA=8，
∴PB=4，AB=4，OB=2，P（-2，4），
∴存在點P₁（2，4）、P₂（-2，4）使△APB與以點A、G、P為頂點的三角形相似．
點評：綜合運用了垂徑定理、相似三角形的判定和性質、圓周角定理的推論以及解直角三角形的知識．