Question

已知，點C在以AB為直徑的半圓上，∠CAB的平分線AD交BC于點D，⊙O經過A、D兩點，且圓心O在AB上．

（1）求證：BD是⊙O的切線．

（2）若，求⊙O的面積．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）證明：連接OD，

∵AB為直徑，∴∠ACB=90°。

∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD。

∵AD平分∠CAB，∴∠OAD=∠CAD。

∴∠ODA=∠CAD。∴OD∥AC。

∴∠ODB=∠ACB=90°。

∴BD是⊙O的切線。

（2）∵，∴AB=4AC。

∵BC²=AB²﹣AC²，，∴15AC²=80，解得AC=。

∴AB=4。

設⊙O的半徑為r，

∵OD∥AC，∴△BOD∽△BAC。∴，即。

解得：r=。

∴πr²=π•（）²=。

∴⊙O的面積為。

【解析】

試題分析：（1）連接OD，求出∠CAD=∠OAD=∠ADO，推出OD∥AC，推出OD⊥CB，根據切線判定推出即可。

（2）根據勾股定理求出AC=，AB=4．設⊙O的半徑為r，證△BOD∽△BAC，得出，代入求出r即可。