Question

6．如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，經(jīng)過點C的直線與AB的延長線交于點D，連接AC，BC，∠BCD=∠CAB．E是⊙O上一點，弧CB=弧CE，連接AE并延長與DC的延長線交于點F．
（1）求證：DC是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為3，sinD=$\frac{3}{5}$，求線段AF的長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由AB是⊙O的直徑，得到∠ACB=90°，即∠1+∠3=90°．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠1=∠2．得到∠DCB+∠3=90°．于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的定義得到OD=5，AD=8．根據(jù)圓周角定理得到∠2=∠4．推出OC∥AF．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接OC，BC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，即∠1+∠3=90°．
∵OA=OC，
∴∠1=∠2．
∵∠DCB=∠BAC=∠1．
∴∠DCB+∠3=90°．
∴OC⊥DF．
∴DF是⊙O的切線；

（2）解：在Rt△OCD中，OC=3，sinD=$\frac{3}{5}$．
∴OD=5，AD=8．
∵$\widehat{CE}$=$\widehat{BC}$，
∴∠2=∠4．
∴∠1=∠4．
∴OC∥AF．
∴△DOC∽△DAF．
∴$\frac{OC}{AF}=\frac{OD}{AD}$．
∴AF=$\frac{24}{5}$．

點評 本題考查了切線的判定，圓周角定理，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．