Question

（1）如圖1，點M，N在反比例函數y=

k

x

（k＞0）的圖象上，過點M作ME⊥y軸，過點N作NF⊥x軸，垂足分別為E，F．試證明：MN∥EF．
（2）若（1）中的其他條件不變，只改變點M，N的位置如圖2所示，請判斷MN與EF是否平行．

Answer 1

分析：（1）連接MF，NE．設點M的坐標為（x₁，y₁），點N的坐標為（x₂，y₂），由反比例函數的性質可知，
x₁y₁=k，x₂y₂=k，故可得出_△EFM=S_△EFN，再由△EFM與△NFE同底，故可得出兩三角形的高必相等，故可得出結論；
（2）連接MF，NE，設點M的坐標為（x₁，y₁），點N的坐標為（x₂，y₂），由反比例函數的性質可知，
x₁y₁=k，x₂y₂=k，故可得出_△EFM=S_△EFN，再由△EFM與△NFE同底，故可得出兩三角形的高必相等，故可得出結論．

解答：（1）證明：如圖1，連接MF，NE．
設點M的坐標為（x₁，y₁），點N的坐標為（x₂，y₂）．
∵點M，N在反比例函數y=

k

x

（k＞0）的圖象上，
∴x₁y₁=k，x₂y₂=k，
∵ME⊥y軸，NF⊥x軸，
∴OE=y₁，OF=x₂．
∴S_△EFM=

1

2

x₁y₁=

1

2

k，
S_△EFN=

1

2

x₂y₂=

1

2

k．
∴S_△EFM=S_△EFN．
∵△EFM與△NFE同底，
∴兩三角形的高必相等，
∴MN∥EF；

（2）MN∥EF．
證明：如圖2，連接MF，NE，設點M的坐標為（x₁，y₁），點N的坐標為（x₂，y₂）．
∵點M，N在反比例函數y=

k

x

（k＞0）的圖象上，
∴x₁y₁=k，x₂y₂=k，
∵ME⊥y軸，NF⊥x軸，
∴OE=y₁，OF=-x₂．
∴S_△EFM=

1

2

x₁y₁=

1

2

k，
S_△EFN=

1

2

x₂y₂=

1

2

k．
∴S_△EFM=S_△EFN．
∵△EFM與△NFE同底，
∴兩三角形的高必相等，
∴MN∥EF．

點評：本題考查的是反比例函數綜合題，熟知反比例函數系數k的幾何意義是解答此題的關鍵．