Question

【題目】如圖，矩形OABC的項點(diǎn)A、C分別在、軸的正半軸上，點(diǎn)B點(diǎn)反比例函數(shù)（k≠0）的第一象限內(nèi)的圖象上，OA=3，OC=5，動點(diǎn)P在軸的上方，且滿足

（1）若點(diǎn)P在這個反比例函數(shù)的圖象上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）連接PO、PA，求PO+PA的最小值；

（3）若點(diǎn)Q在平面內(nèi)一點(diǎn)，使得以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則請你直接寫出滿足條件的所有點(diǎn)Q的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）P（5，3）;（2）最小值為;（3）Q（，8）或（7，8）或（，）或（，）

【解析】

（1）由矩形的性質(zhì)可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出k值，進(jìn)而可得出反比例函數(shù)解析式，由可求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，再利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）作點(diǎn)O關(guān)于直線y=3的對稱點(diǎn)O′，連接AO′交直線y=3于點(diǎn)P，利用兩點(diǎn)之間線段最短可得出此時PO+PA取得最小值，由點(diǎn)O的坐標(biāo)可求出點(diǎn)O′的坐標(biāo)，再利用勾股定理即可求出PO+PA的最小值；
（3）由線段AB的長及點(diǎn)P的縱坐標(biāo)可得出AB只能為邊，分點(diǎn)Q在點(diǎn)P的上方及點(diǎn)Q在點(diǎn)P的下方兩種情況考慮：①當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)P的上方時，由AP=AB=5可求出m的值，進(jìn)而可得出點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)，結(jié)合PQ=AB=5可得出點(diǎn)Q1，Q2的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)P的下方時，由BP=AB=5可求出m的值，進(jìn)而可得出點(diǎn)P3，P4的坐標(biāo)，結(jié)合PQ=AB=5可得出點(diǎn)Q3，Q4的坐標(biāo)．

（1）由題意，可知：點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，5）．
∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)（k≠0）的第一象限內(nèi)的圖象上，
∴k=3×5=15，
∴反比例函數(shù)的解析式為，
∵

∴
∴．
當(dāng)y=3時，，

解得：x=5，
∴當(dāng)點(diǎn)P在這個反比例函數(shù)的圖象上時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，3）．
（2）由（1）可知：點(diǎn)P在直線y=3上，作點(diǎn)O關(guān)于直線y=3的對稱點(diǎn)O′，連接AO′交直線y=3于點(diǎn)P，此時PO+PA取得最小值，如圖1所示．

∵點(diǎn)O的坐標(biāo)為（0，0），
∴點(diǎn)O′的坐標(biāo)為（0，6）．
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），
∴AO′=，

∴PO+PA的最小值為．
（3）∵AB∥y軸，AB=5，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3，
∴AB不能為對角線，只能為邊．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，3），分兩種情況考慮，如圖2所示：

①當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)P的上方時，AP=AB=5，即，
解得：m1=-1，m2=7，
∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（-1，3），點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（7，3）．
又∵PQ=5，且PQ∥AB∥y軸，
∴點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為（-1，8），點(diǎn)Q2的坐標(biāo)為（7，8）；
②當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)P的下方時，BP=AB=5，即，
解得：，，
同理，可得出：點(diǎn)Q3的坐標(biāo)為（，-2），點(diǎn)Q4的坐標(biāo)為（，-2）
綜上所述：當(dāng)以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q（，8）或（7，8）或（，）或（，）