Question

【題目】如圖①，在△ABC中，為銳角，點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF.

（1）如圖②，如果AB=AC，，當點D在線段BC的延長線上時，猜想線段CF、BD的關系，并說明理由.

（2）如圖③，如果ABAC，是銳角，點D在線段BC上，當時，必有CFBC（點C，F不重合），請先在橫線上添加條件，再作證明.

Answer 1

【答案】（1）CF＝BD且CF⊥BD，理由見解析；（2）45，證明見解析.

【解析】

（1）CF與BD關系為互相垂直且相等．首先證明△DAB≌△FAC，然后得出CF＝BD，∠ACF＝45°，∠BCF＝∠ACB＋∠ACF＝90°，即可求得答案；

（2）當∠ACB＝45°時，過點A作AG⊥AC交CB或CB的延長線于點G，則∠GAC＝90°，可推出∠ACB＝∠AGC，所以AC＝AG，于是得到CF⊥BD．

解：（1）結論：CF＝BD且CF⊥BD，
理由：∵∠FAD＝∠BAC＝90°
∴∠BAD＝∠CAF，

∵，

∴,
在△BAD與△CAF中，
∵ ，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴CF＝BD，∠ACF＝∠ACB＝45°，
∴∠BCF＝90°
∴CF⊥BD．
故答案為：CF＝BD且CF⊥BD；

（2）當∠ACB＝45°時，必有CF⊥BC.

理由：過點A作AC的垂線與CB所在直線交于G ，

則∵∠ACB＝45°，
∴AG＝AC，∠AGC＝∠ACG＝45°，
∵AG＝AC，AD＝AF，
∵∠GAD＝∠GAC∠DAC＝90°∠DAC，∠FAC＝∠FAD∠DAC＝90°∠DAC，
∴∠GAD＝∠FAC，
∴△GAD≌△CAF（SAS），

∴∠ACF＝∠AGD＝45°
∴∠GCF＝∠ACG＋∠ACF＝90°
∴CF⊥BC