Question

如圖，在矩形ABCD中，AD=4cm，AB=m（m＞4），點(diǎn)P是AB邊上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），連接PD，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥PD，交直線(xiàn)BC于點(diǎn)Q．
（1）當(dāng)m=10時(shí)，是否存在點(diǎn)P使得點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合？若存在，求出此時(shí)AP的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由；
（2）連接AC，若PQ∥AC，求線(xiàn)段BQ的長(zhǎng)（用含m的代數(shù)式表示）；
（3）若△PQD為等腰三角形，求以P、Q、C、D為頂點(diǎn)的四邊形的面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）假設(shè)存在一點(diǎn)P，使點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，再設(shè)AP的長(zhǎng)為x，利用勾股定理即可用x表示出DP、PC的長(zhǎng)，在Rt△PCD中可求出x的值；
（2）連接AC，設(shè)BP=y，則AP=m-y，由相似三角形的判定定理得出△PBQ∽△ABC，△APD∽△BQP，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出BQ的表達(dá)式；
（3）連接DQ，把四邊形PQCD化為兩個(gè)直角三角形，再用m表示出PD及CQ的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式即可解答．

解答：解：（1）存在點(diǎn)P．
假設(shè)存在一點(diǎn)P，使點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，如圖1所示，設(shè)AP的長(zhǎng)為x，則BP=10-x，
在Rt△APD中，DP²=AD²+AP²，即DP²=4²+x²，
在Rt△PBC中，PC²=BC²+PB²，即PC²=4²+（10-x）²，
在Rt△PCD中，CD²=DP²+PC²，即10²=4²+x²+4²+（10-x）²，
解得x=2或8，
故當(dāng)m=10時(shí)，存在點(diǎn)P使得點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，此時(shí)AP=2或8；

（2）連接AC，設(shè)BP=y，則AP=m-y，
∵PQ∥AC，
∴△PBQ∽△ABC，
∴

BQ

BC

=

BP

AB

，即

BQ

4

=

y

m

①，
∵DP⊥PQ，
∴∠APD+∠BPQ=90°，
∵∠APD+∠ADP=90°，∠BPQ+∠PQB=90°，
∴∠APD=∠BQP，
∴△APD∽△BQP，
∴

AD

PB

=

AP

BQ

，即

4

y

=

m-y

BQ

②，
①②聯(lián)立得，BQ=

4m2-64

m2

；

（3）連接DQ，
 由已知PQ⊥PD，所以只有當(dāng)DP=PQ時(shí)，△PQD為等腰三角形（如圖），
∴∠BPQ=∠ADP，又∠B=∠A=90°，
∴△PBQ≌△DAP，
∴PB=DA=4，AP=BQ=m-4，
∴以P、Q、C、D為頂點(diǎn)的四邊形的面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式為：
S_{四邊形PQCD}=S_矩形ABCD-S_△DAP-S_△QBP=4m-

1

2

×4×（m-4）-

1

2

×4×（m-4）=16，
∵AD=4，m＞4，△PBC中PB是直角三角形的另一直角邊，
∴4＜m＜8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，涉及到矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)及三角形的面積公式，根據(jù)題意作出輔助線(xiàn)是解答此題的關(guān)鍵．