Question

【題目】如圖①，P為△ABC所在平面上一點，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點P叫作△ABC的費馬點．

(1)如果點P為銳角△ABC的費馬點，且∠ABC＝60°.

①求證： △ABP∽△BCP；

②若PA＝3，PC＝4，求PB的長；

(2)如圖②，已知銳角△ABC，分別以AB，AC為邊向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于點P，連接AP.

①求∠CPD的度數；

②求證：點P為△ABC的費馬點．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）60° （3）見解析

(1)①證明：∵∠PAB＋∠PBA＝180°－∠APB＝60°，∠PBC＋∠PBA＝∠ABC＝60°，∴∠PAB＝∠PBC.又∵∠APB＝∠BPC＝120°，∴△ABP∽△BCP

②解：由①可知△ABP∽△BCP，∴ ，∴PB2＝PA·PC＝12，∴PB＝2.

(2)①解：如圖，∵△ABE和△ACD是正三角形，∴AE＝AB，AC＝AD，∠EAB＝∠5＝60°.∵∠EAC＝∠EAB＋∠BAC，∠BAD＝∠BAC＋∠5，∴∠EAC＝∠BAD，∴△ACE≌△ADB，∴∠1＝∠2.∵∠3＝∠4，∴∠CPD＝∠5＝60°.

②證明：由①可知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴△ADF∽△PCF，∴AF∶PF＝DF∶CF，∴AF∶DF＝PF∶CF.∵∠AFP＝∠CFD，∴△AFP∽△DFC，∴∠APF＝∠ACD＝60°.由①可知∠CPD＝60°，∴∠APC＝∠CPD＋∠APF＝120°，∠BPC＝180°－∠CPD＝120°，∴∠APB＝360°－∠BPC－∠APC＝120°，∴點P為△ABC的費馬點．

【解析】試題分析： ①由費馬點的定義可知∠APB＝∠BPC＝120°，然后再證明∠PAB＝∠PBC即可證明△ABP∽△BCP ②由①可知△ABP∽△BCP，得到，即可求出的長.
如圖所示：①首先證明△ACE≌△ADB，則∠1＝∠2，由∠3＝∠4可得到∠CPD＝∠5＝60°.

②由∠CPD＝60°.可證明∠BPC＝180°－∠CPD＝120°，然后證明△ADF∽△PCF，由相似三角形的性質和判定定理再證明△AFP∽△DFC，故此可得到∠APF＝∠ACD＝60°，然后可求得∠APC＝∠CPD＋∠APF＝120°，接下來可求得∠APB＝360°－∠BPC－∠APC＝120°,即可說明.

試題解析：

(1)①∵∠PAB＋∠PBA＝180°－∠APB＝60°，∠PBC＋∠PBA＝∠ABC＝60°，

∴∠PAB＝∠PBC.又∵∠APB＝∠BPC＝120°，

∴△ABP∽△BCP

②由①可知△ABP∽△BCP，

∴

∴PB2＝PA·PC＝12，

(2)①如圖，∵△ABE和△ACD是正三角形，

∴AE＝AB，AC＝AD，∠EAB＝∠5＝60°.

∵∠EAC＝∠EAB＋∠BAC，∠BAD＝∠BAC＋∠5，

∴∠EAC＝∠BAD，

∴△ACE≌△ADB，

∴∠1＝∠2.

∵∠3＝∠4，

∴∠CPD＝∠5＝60°.

②由①可知∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∴△ADF∽△PCF，

∴AF∶PF＝DF∶CF，

∴AF∶DF＝PF∶CF.

∵∠AFP＝∠CFD，

∴△AFP∽△DFC，

∴∠APF＝∠ACD＝60°.

由①可知∠CPD＝60°，

∴∠APC＝∠CPD＋∠APF＝120°，

∠BPC＝180°－∠CPD＝120°，

∴∠APB＝360°－∠BPC－∠APC＝120°，

∴點P為△ABC的費馬點．