Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2-x+c交x軸于點(diǎn)A和點(diǎn)B（點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)B在原點(diǎn)的右側(cè)），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），交y軸于點(diǎn)C．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）已知點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，直線PC與x軸交于點(diǎn)Q，使得PQ=CQ，求P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)N是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在以A，C，M，N為頂點(diǎn)的矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出N點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-x+4；（2）P點(diǎn)坐標(biāo)（-，5）或（-，5）或（，-5）或（，-5）；

（3）存在以A、C、M、N為頂點(diǎn)的矩形，點(diǎn)N的坐標(biāo)為：（2，）或（-4，）或（-2，2-）或（-2，2+）．

【解析】

（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）代入y=ax2-x+c求解即可；

（2）設(shè)P（m，-m2-m+4），作PH⊥x軸于H，由平行可得△QCO∽△QPH，由相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例可得m值，代入求點(diǎn)P坐標(biāo)即可；

（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，m），可求得AM、AC、CM長(zhǎng)，分AC為邊或AC為對(duì)角線兩種情況由勾股定理可得m值，易知點(diǎn)M坐標(biāo)，由全等三角形的性質(zhì)確定N點(diǎn)坐標(biāo)即可.

解：（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）代入y=ax2-x+c得，

解得：，

∴該拋物線的解析式為y=-x2-x+4；

（2）∵點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，

∴設(shè)P（m，-m2-m+4），作PH⊥x軸于H，

∴PH∥OC，

∴△QCO∽△QPH，

∴==，

∴=±，

解得：m1=-，m2=-，m3=，m4=，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)（-，5）或（-，5）或（，-5）或（，-5）；

（3）∵拋物線y=-x2-x+4的對(duì)稱軸為x=-1，

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，m），

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），

∴AM==，AC==5，CM==，

分AC為邊或AC為對(duì)角線兩種情況考慮：

①當(dāng)AC為邊時(shí)，有AC2+AM2=CM2或AC2+CM2=AM2，即25+m2+4=m2-8m+17或25+m2-8m+17=m2+4，

解得：m1=-或m2=，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，-）或（-1，）；

如圖2，分別過(guò)M或N作y軸或x軸的垂線，

由全等三角形的性質(zhì)得，N點(diǎn)的坐標(biāo)為：（2，）或（-4，）；

②當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，有AM2+CM2=AC2，即m2+4+m2-8m+17=25，

解得：m3=2+，m4=2-，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，2+）或（-1，2-）．

如圖3，分別過(guò)M或N作y軸或x軸的垂線，

由全等三角形的性質(zhì)得，N點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，2-）或（-2，2+）

綜上所述：存在以A、C、M、N為頂點(diǎn)的矩形，點(diǎn)N的坐標(biāo)為：（2，）或（-4，）或（-2，2-）或（-2，2+）．