Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)系原點(diǎn)，四邊形ABCO是菱形，點(diǎn)A坐標(biāo)為（-3，4，），點(diǎn)C在x軸的正半軸上，直線AC交y軸于點(diǎn)M，
（1）可求得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為

（5，0）

，直線AC的解析式為

y=-

1

2

x+

5

2

．
（2）連接BM，如圖2，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿折線ABC方向以2個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)△PMB的面積為S（S≠0），點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，自變量t的取值范圍為

0＜t≤

5

2

，此時(shí)S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為

S=-

3

2

t+

15

4

．
當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，自變量t的取值范圍為

5

2

＜t≤5

，此時(shí)S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為

S=

5

2

t-

15

4

．

Answer 1

分析：（1）由A的坐標(biāo)求出OA的長(zhǎng)，根據(jù)四邊形ABCO為菱形，利用菱形的四條邊相等得到OC=OA，求出OC的長(zhǎng)，即可確定出C的坐標(biāo)，設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，將A與C代入求出k與b的值，即可確定出直線AC的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，由P的速度為2個(gè)單位/秒，時(shí)間為t秒，表示出AP，由AB-AP表示出PB，對(duì)于直線AC解析式，令x=0，得到y(tǒng)的值，即為OM的長(zhǎng)，由OQ-OM求出MQ的長(zhǎng)，三角形PBM以PB為底邊，MQ為高，表示出S與t的關(guān)系式，并求出t的范圍即可；當(dāng)P在線段BC上時(shí)，作MQ垂直于BC，由P的速度為2個(gè)單位/秒，時(shí)間為t秒，表示出AB+BP的長(zhǎng)，減去AB表示出BP的長(zhǎng)，由四邊形ABCO為菱形，利用菱形的性質(zhì)得到CA為角平分線，利用角平分線定理得到MQ=MO，求出MQ的長(zhǎng)，三角形PBM以BP為底邊，MQ為高，表示出S與t的關(guān)系式，并求出t的范圍即可．

解答：
解：（1）∵A（-3，4），
∴OA=

(-3)2+42

=5，
∵四邊形OABC為菱形，
∴OC=OA=5，
∴C（5，0），
設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，將A與C坐標(biāo)代入得：

-3k+b=4 5k+b=0

，
解得：

k=- 1 2 b= 5 2

．
∴直線AC解析式為y=-

1

2

x+

5

2

；

（2）當(dāng)P在線段AB上時(shí)，MQ⊥AB，此時(shí)AP=2t，PB=5-2t，
對(duì)于直線y=-

1

2

x+

5

2

，令x=0，得到y(tǒng)=

5

2

，即OM=

5

2

，MQ=OQ-OM=4-

5

2

=

3

2

，
∴S=

1

2

PB•MQ=

1

2

×

3

2

×（5-2t）=-

3

2

t+

15

4

（0＜t≤

5

2

）；
當(dāng)P在線段BC上時(shí)，作MQ⊥BC，
∵四邊形ABCO為菱形，
∴CA為∠BCO的平分線，
∵M(jìn)Q⊥CB，MO⊥OC，
∴MQ=MO=

5

2

，BP=AB+BP-AB=2t-5，
∴S=

1

2

PB•MQ=

1

2

×

5

2

×（2t-5）=

5

2

t-

15

4

（

5

2

＜t≤5）．
故答案為：（1）C（5，0）；y=-

1

2

x+

5

2

；（2）0＜t≤

5

2

；S=-

3

2

t+

15

4

；

5

2

＜t≤5；S=

5

2

t-

15

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，勾股定理，菱形的性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的思想，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．