Question

如圖，已知AB、CD是⊙O的兩條平行弦，過A點的⊙O的切線AE和DC的延長線交于E點，P為弧

CD

上一點，弦AP、BP與CD分別交于點M、N．
求證：CM：EM=NM：DM．

Answer 1

分析：由弦切角定理可知∠EAP=∠ABP，由AB∥CD，得∠ABP=∠ENP，因為∠AME=∠NMP，故△AEM∽△PNM，依據相交弦定理解答．

解答：證明：∵AE是⊙O的切線，
∴∠EAP=∠ABP．
∵AB∥CD，
∴∠ABP=∠ENP，∠AME=∠NMP．
∴△AEM∽△PNM．
∴AM•PM=MN•EN．
∵AM•PM=CM•DM，
∴MN•EM=CM•DM．
即CM：EM=NM：DM．

點評：此題考查的是相交弦定理，平行線的性質，相似三角形的性質及判定定理，弦切角定理的綜合運用能力．