Question

如圖，等邊△ABC的邊長為，以BC邊所在直線為x軸，BC邊上的高線AO所在的直線為y軸建立平面直角坐標系．
（1）求過A、B、C三點的拋物線的解析式．
（2）如圖，設⊙P是△ABC的內切圓，分別切AB、AC于E、F點，求陰影部分的面積．
（3）點D為y軸上一動點，當以D點為圓心，3為半徑的⊙D與直線AB、AC都相切時，試判斷⊙D與（2）中⊙P的位置關系，并簡要說明理由．
（4）若（2）中⊙P的大小不變，圓心P設y軸運動，設P點坐標為（0，a），則⊙P與直線AB、AC有幾種位置關系？并寫出相應位置關系時a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由條件求得A（0，-3），B（-，0），C（，0），
設過A、B、C三點拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
代入，得，
解得，
∴所求拋物線解析式為：y=x²-3．

（2）易證⊙P切BC于O點．
如圖，連接PE、PF，
∵△ABC=×BC×PE×3=BC×OA，
∴3PE=OA=3，
∴PE=PF=1，PA=2，AE=，
∴S_△APE=，S_扇形EPF=，S_陰影=2S_△APE-S_扇形EPF=-，
（或運用S_陰影=求得．）

（3）當點D在y軸正半軸時，
如圖，設⊙D分別切直線AB、AC于M、N點，連接DM，
∵DM=3，∠DAM=30°，
∴AD=6，
又∵AP=2，
∴PD=4，
∴PD=OD+OP，
∴⊙P與⊙D外切．
當點D在y軸負半軸時，設⊙D切直線AB、AC于點Q、G，連接DG，易求得DP=8，
∴DP＞3+1，
∴⊙D與⊙P外離．

（4）⊙P與直線AB、AC有三種位置關系：相切、相交、相離．
如圖，當a=-1或a=-5時，⊙P與直線AB、AC相切；
當-5＜a＜-1時，⊙P與直線AB、AC相交；
當a＜-5或a＞-1時，⊙P與直線AB、AC相離．
分析：（1）設過A、B、C三點拋物線解析式為y=ax²+bx+c，利用待定系數法即可求得此二次函數的解析式；
（2）易證⊙O切BC于O點，連接PE、PF，求得△APE與扇形EPF的面積，由S_陰影=2S_△APE-S_扇形EPF即可求得陰影部分的面積；
（3）設⊙D分別切直線AB、AC于M、N點，連接DM，由DM=3，∠DAM=30°，即可求得AD與PD的長，由PD=OD+OP，即可得⊙P與⊙D外切，則當點D在y軸負半軸時，設⊙D切直線AB、AC于點Q、G，連接DG，易求得DP=8，由DP＞3+1，可得⊙D與⊙P外離；
（4）當a=-1或a=-5時，⊙P與直線AB、AC相切；當-5＜a＜-1時，⊙P與直線AB、AC相交；當a＜-5或a＞-1時，⊙P與直線AB、AC相離．
點評：此題考查了圓與圓的位置關系，待定系數法求二次函數的解析式，切線的性質與判定等知識．此題綜合性較強，難度較大，注意數形結合思想的應用，注意掌握兩圓位置關系與圓心距d，兩圓半徑R，r的數量關系間的聯系是解此題的關鍵．