Question

【題目】如圖，為直徑，是上一點，于點，弦與交于點．過點作的切線交的延長線于點，過點作的切線交的延長線于點．

（1）求證：為等腰三角形；

（2）若，的半徑為3，求的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)6.

【解析】

（1）連接OD，根據等角的余角相等可得，然后證明∠EFD=∠EDF即可解決問題；

（2）先求得OF=1，設DE=EF=x，則OE=x+1，在Rt△ODE中，根據勾股定理求得DE=4，OE=5，根據切線的性質由AG為⊙O的切線得∠GAE=90°，再證明Rt△EOD∽Rt△EGA，根據相似三角形對應邊成比例即可求得．

（1）連接，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵為的切線，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴△EFD為等腰三角形.

（2）∵，半徑為3，

∴，

∵，

∴，

在中，，則，

∵，

∴，解得，

∴，

∵為的切線，

∴，

∴，

而，

∴，

∴，即，

∴．