Question

如圖，⊙O的直徑AB和弦CD相交于點E，已知AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=60°，
（1）求CD的長；
（2）若直線CD繞點E順時針旋轉15°，交⊙O于C、D，直接寫出弦CD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）作OH⊥CD于H，連接OD，求出AB=6cm，半徑OD=3cm，在Rt△OHE中，OE=2cm，∠OEH=60°，由勾股定理求出OH=cm，在Rt△OHD中，由勾股定理得求出HD=cm，由垂徑定理得出DC=2DH，代入即可；
（2）求出OE，∠OEH=45°，根據勾股定理求出OH，在Rt△OHD中，由勾股定理得求出HD，由垂徑定理得出DC=2DH，代入即可．
解答：解：（1）
作OH⊥CD于H，連接OD，
∵AE=1cm，BE=5cm，E在直徑AB上，
∴AB=1cm+5cm=6cm，半徑OD=3cm，
∵在Rt△OHE中，OE=3cm-1cm=2cm，∠OEH=60°，
∴OH=cm，
在Rt△OHD中，由勾股定理得：HD=cm，
∵OH⊥CD，
∴由垂徑定理得：DC=2DH=2cm；

（2）作OH⊥CD于H，連接OD，
∵AE=1cm，BE=5cm，E在直徑AB上，
∴AB=1cm+5cm=cm6，半徑OD=3cm，
∵若直線CD繞點E順時針旋轉15°，
∴∠OEH=60°-15°=45°，
在Rt△OHE中，OE=3cm-1cm=2cm，∠OEH=45°，
∴OH=cm，
在Rt△OHD中，由勾股定理得：HD==（cm），
∵OH⊥CD，
∴由垂徑定理得：DC=2DH=2cm；
即CD=2cm．
點評：本題考查了垂徑定理，勾股定理，含30度角的直角三角形性質，等腰直角三角形性質等知識點的應用，主要考查學生運用性質進行推理和計算的能力，題目比較典型，是一道比較好的題目．