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取一張矩形的紙進行折疊,具體操作過程如下:
第一步:先把矩形ABCD對折,折痕為MN,如圖1;
第二步:再把B點疊在折痕線MN上,折痕為AE,點B在MN上的對應點為Bn,得Rt△ABE,如圖2;
第三步:沿EB線折疊得折痕EF,如圖3;
利用展開圖4探究:
(1)△AEF是什么三角形?證明你的結論.
(2)對于任一矩形,按照上述方法是否都能折出這種三角形?請說明理由.

【答案】分析:(1)應該是等邊三角形.先證明△ABE≌△AB′E,得出∠AB'E=90°,∠A=∠BAE,然后證明△AB′E≌△AB′F,得出AE=AF,∠B'AE=∠B'AF,從而可確定∠EAF=60°,繼而得出△AEF是等邊三角形.
(2)根據(1)我們可看出,要想折出等邊三角形,AD≥AF,我們看當AD=AF時,矩形的長和寬的比例是多少,AF:AB=sin60°=2:,那么要想折出等邊三角形,那么矩形的寬就必須小于長的
解答:解:(1)△AEF是等邊三角形.
證明:∵△ABE與△AB′E完全重合,
∴△ABE≌△AB′E,∠BAE=∠1,
由平行線等分線段定理知EB′=B′F,
又∵∠AB′E=90°
∴△AB′E≌△AB′F,
∴AE=AF,∠1=∠2=∠BAD=30°,
∴△AEF是等邊三角形.

(2)不一定.
由上推證可知當矩形的長恰好等于等邊△AEF的邊AF時,即矩形的寬:長=AB:AF=sin60°=:2
時正好能折出.
設矩形的長為a,寬為b,可知
當b≤a時,按此法一定能折出等邊三角形;
a<b<a時,按此法無法折出完整的等邊三角形.
點評:本題主要考查了折疊的性質以及等邊三角形的判定,根據折疊的性質得出相關的邊和角相等是解題的關鍵.
練習冊系列答案
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科目:初中數學 來源: 題型:

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第二步:再把B點疊在折痕線MN上,折痕為AE,點B在MN上的對應點為Bn,得Rt△ABE,如圖2;
第三步:沿EB線折疊得折痕EF,如圖3;
利用展開圖4探究:
(1)△AEF是什么三角形?證明你的結論.
(2)對于任一矩形,按照上述方法是否都能折出這種三角形?請說明理由.
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科目:初中數學 來源: 題型:

取一張矩形的紙進行折疊,具體操作過程如下:
第一步:先把矩形ABCD對折,折痕為MN,如圖(1)所示;
第二步:再把B點疊在折痕線MN上,折痕為AE,點B在MN上的對應點為B′,得 Rt△AB′E,如圖(2)所示;
第三步:沿EB′線折疊得折痕EF,如圖(3)所示;利用展開圖(4)所示.
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探究:
(1)△AEF是什么三角形?證明你的結論.
(2)對于任一矩形,按照上述方法是否都能折出這種三角形?請說明理由.
(3)如圖(5),將矩形紙片ABCD沿EF折疊,使點A落在DC邊上的點A′處,x軸垂直平分DA,直線EF的表達式為y=kx-k (k<0)
①問:EF與拋物線y=-
1
8
x2
有幾個公共點?
②當EF與拋物線只有一個公共點時,設A′(x,y),求
x
y
的值.

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科目:初中數學 來源:2009年安徽省馬鞍山市二中中考數學一模試卷(解析版) 題型:解答題

取一張矩形的紙進行折疊,具體操作過程如下:
第一步:先把矩形ABCD對折,折痕為MN,如圖1;
第二步:再把B點疊在折痕線MN上,折痕為AE,點B在MN上的對應點為Bn,得Rt△ABE,如圖2;
第三步:沿EB線折疊得折痕EF,如圖3;
利用展開圖4探究:
(1)△AEF是什么三角形?證明你的結論.
(2)對于任一矩形,按照上述方法是否都能折出這種三角形?請說明理由.

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科目:初中數學 來源:2003年山西省中考數學試卷(解析版) 題型:解答題

(2003•山西)取一張矩形的紙進行折疊,具體操作過程如下:
第一步:先把矩形ABCD對折,折痕為MN,如圖1;
第二步:再把B點疊在折痕線MN上,折痕為AE,點B在MN上的對應點為Bn,得Rt△ABE,如圖2;
第三步:沿EB線折疊得折痕EF,如圖3;
利用展開圖4探究:
(1)△AEF是什么三角形?證明你的結論.
(2)對于任一矩形,按照上述方法是否都能折出這種三角形?請說明理由.

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