Question

【題目】【回歸課本】我們曾學習過一個基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例．

【初步體驗】

（1）如圖1，在△ABC中，點D、F在AB上，E、G在AC上，DE∥FC∥BC．若AD=2，AE=1，DF=6，則EG= ， = ．

（2）如圖2，在△ABC 中，點D、F在AB上，E、G在AC上，且DE∥BC∥FG．以AD、DF、FB為邊構造△ADM（即AM=BF，MD=DF）；以AE、EG、GC為邊構造△AEN（即AN=GC，NE=EG）．

求證：∠M=∠N．

【深入探究】

上述基本事實啟發我們可以用“平行線分線段成比例”解決下列問題：

（3）如圖3，已知△ABC和線段a，請用直尺與圓規作△A′B′C′．

滿足：①△A′B′C′∽△ABC；②△A′B′C′的周長等于線段a的長度．（保留作圖痕跡，并寫出作圖步驟）

Answer 1

【答案】（1）3、2；（2）證明見解析；（3）作圖見解析．

【解析】試題分析：解決本題要用到了平行線分線段成比例、相似三角形的判定與性質、平行線的判定．

（1） 兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例；

（2）要證∠M=∠N，只需證△AMD∽△ANE，只需證，由于DF=DM，EG=EN，BF=AM，GC=AN，只需證，根據“兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例”即可解決問題；

（3）借鑒圖2，可進行以下操作：①延長BA到D，使得AD=AC，延長AB到E，使得BE=BC；②過點D畫一條線段DF，使得DF=a，連接EF；③過點B作∠DBB′=∠DEF，交DF于點B′，過點A作∠DAA′=∠DEF，交DF于點A′，即可得到AA′∥BB′∥EF；④以點A′為圓心，A′D為半徑畫弧，以點B′為圓心，B′F為半徑畫弧，兩弧交于點C′；⑤連接A′C′，B′C′，如圖4，△A′B′C′即為所求作．

解：（1）如圖1，

∵DE∥FG∥BC，

∴，

∴．

∵AD=2，AE=1，DF=6，

∴，

∴EG=3， =2．

故答案分別為：3、2；

（2）如圖2，

∵DE∥FG∥BC，

∴，

∴．

∵DF=DM，EG=EN，BF=AM，GC=AN，

∴，

∴△AMD∽△ANE，

∴∠M=∠N；

（3）步驟：

①延長BA到D，使得AD=AC，延長AB到E，使得BE=BC；

②過點D畫一條線段DF，使得DF=a，連接EF；

③過點B作∠DBB′=∠DEF，交DF于點B′，過點A作∠DAA′=∠DEF，交DF于點A′；

④以點A′為圓心，A′D為半徑畫弧，以點B′為圓心，B′F為半徑畫弧，兩弧交于點C′；

⑤連接A′C′，B′C′，如圖4，△A′B′C′即為所求作．