Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，已知直線交軸于點，軸于點，的角平分線交軸于點，過點作直線的垂線，交軸于點．

（1）求直線的解析式；

（2）如圖2，若點為直線上的一個動點，過點作軸，交直線于點，當四邊形為菱形時，求的面積；

（3）如圖3，點為軸上的一個動點，連接、，將沿翻折得到，當以點、、為頂點的三角形是等腰三角形時，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）(，)，(，)，(，)，(，)

【解析】

（1）分別令為0，建立方程可求得A、B的坐標，并由tan∠BAO=，求得∠BAO=60°，由AC平分∠BAO求得C的坐標，再求得點D的坐標，利用待定系數法即可求得CD的解析式；
（2）根據菱形對角線互相垂直平分這一性質，可以確定點M的坐標，易求出△ACM的面積；
（3）△為等腰三角形，分類討論：①當且點P在負半軸上，時，證明△是等邊三角形解決問題．②當時，過作⊥y軸于H，易證△≌△（AAS），利用全等三角形性質解決問題即可．③當時，若點P在負半軸上，不存在，若點P在正半軸上，點P與點B重合時，．④當且點P在正半軸上時，利用面積法即可求解．

（1）如圖，

在中，令，得，令得，解得，
∴點A的坐標為（0，3），點B的坐標為（，0），

在中，∠AOB=90°，，

∴∠BAO=60°，
∵AC平分∠BAO，
∴∠CAO=∠BAO=30°
∵tan∠CAO=，
∴OC=OAtan∠CAO=3tan30°=，

∴點C的坐標為（，0），

∵CD⊥AB，
∴∠ODC=90°-∠BAO=90°-60°=30°，
在Rt△COD中，∠COD=90°，tan∠ODC=，

∴OD=，

∴點D的坐標為（，），

設直線CD解析式為，將C（，0），D（，）代入得：

，解得，

∴直線CD的解析式為；
（2）如圖，令CD與AB交于點E，

∵四邊形AMND是菱形，
∴AE=NE DE=ME，
解方程組，得，

∴點E的坐標為（，），

設點M的橫坐標為，則，

∴，

則，

∴點M的坐標為(，)，

∵四邊形AMND是菱形，

∴對角線相互垂直平分，
在Rt△ADE中，cos∠ODC=，sin∠ODC=，AD=OA+OD=3+3=6，

∴DE=AD×cos∠ODC=6cos30°=，AE=ADsin∠ODC=6sin30°=3，
∴ME=DE=，

在Rt△ODC中，∠ODC=30°，

∴CD=2OC=2，

∴CM=2DM-CD=，

∴；

（3）如圖，

△為等腰三角形，分三種情況：
①當時，
由翻折知：，，，
∵，
∴，
∴，
∴△是等邊三角形
∴，
∴∠ADP=30°，

在Rt△PDO中，，

∴，

∴點P的坐標為(，)，

②當時，

∴在線段AB垂直平分線上，
由（2）得，直線CD是線段AB垂直平分線，

∴點在直線CD上，如圖：

由翻折知：，，，
∵∠ADC=30°，
∴，，
∵OA=OD，PO⊥AD，
∴∠APO=∠DPO=15°，
∴=30°，
∴60°，
∴△是等邊三角形，
∴，
過作⊥軸于H，

∵=90°，
∴=15°，

又∵=90°，

∴△≌△（AAS）
=3，，
點的橫坐標為-3，將代入直線CD的解析式中，得，

∴OH=，OP=AH=AO+OH=，

∴點P的坐標為(，)；

③當時，
若點P在負半軸上，不存在，
若點P在正半軸上，點P與點B重合時，，如圖：

∴點P的坐標為(，)；

④當時，

∴在線段AB垂直平分線上，
由（2）得，直線CD是線段AB垂直平分線，

∴點在直線CD上，如圖：

由翻折知：，，，
∴DP平分∠ODC，

過P作PG⊥CD于G，

∵DP平分∠ODC，

設PO=OG=，

∵OC=，∠ODC=30，

∴CD=2，OD=3，

∵，

∴，

解得：，

∴點P的坐標為(，)

綜上所述，點P的坐標為(，)，(，)，(，)，(，) ．