Question

如圖，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG，AE與CG相交于點M，CG與AD相交于點N．
求證：（1）AE=CG；（2）AN•DN=CN•MN．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明AE=CG，只要證得三角形ADE和三角形CDG全等即可，根據題中的已知條件我們不難得出，AD=CD，GC=AE，∠ADE和∠GDC，又同為90°+∠ADC，那么就構成了全等三角形的判定中SAS的條件．
（2）本題可通過證明三角形AMN和三角形CDN相似來證得．
解答：證明：（1）∵四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，
∴AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠EDG=90°，
∵∠ADE=90°+∠ADG，∠CDG=90°+∠ADG，
∴∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDG中
∵，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE=CG．

（2）由（1）得△ADE≌△CDG，
則∠DAE=∠DCG，
又∵∠ANM=∠CND，
∴△AMN∽△CDN，
∴，
即AN•DN=CN•MN．
點評：求某兩條線段相等，可通過證明它們所在的三角形全等來實現．要證明某些線段成比例，可通過證明這些相關聯的線段所在的三角形相似來得出所求的條件．