Question

已知：有一個△ABC，且BC=2，AC=

3

，AB=1；將它放置于平面直角坐標系中；使BC在橫軸上，頂點A在反比例函數y=

3

x

的圖象上，試探求C點的坐標．

Answer 1

分析：由于反比例函數的圖象是雙曲線，點A可能在第一象限，也可能在第三象限，又因為斜邊BC在x軸上，所以可能點B在點C的右邊，也可能點B在點C的左邊，故一共分四種情況．針對每一種情況，都可以運用三角函數的定義求出點C的坐標．

解答：解：∵△ABC中，BC=2，AC=

3

，AB=1，
∴∠A=90°，∠ABC=60°．

①當點A在第一象限時，如上圖，
過點A作AD⊥x軸于D．
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABC=60°，AB=1，
∴BD=

1

2

，AD=

3

2

，
∵點A在反比例函數y=

3

x

上，
∴當y=

3

2

時，x=2，
∴A（2，

3

2

），
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，AD=

3

2

，
∴CD=

3

2

，
∴OC=OD-CD=2-

3

2

=

1

2

，
∴點C的坐標為（

1

2

，0）；
②
當點A在第一象限時，如上圖，
過點A作AD⊥x軸于D．
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABC=60°，AB=1，
∴BD=

1

2

，AD=

3

2

，
∵點A在反比例函數y=

3

x

上，
∴當y=

3

2

時，x=2，∴A（2，

3

2

），
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，AD=

3

2

，
∴CD=

3

2

，
∴OC=OD+CD=2+

3

2

=

7

2

，
∴點C的坐標為（

7

2

，0）；
③
當點A在第三象限時，如上圖，
過點A作AD⊥x軸于D．
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABC=60°，AB=1，
∴BD=

1

2

，AD=

3

2

，
∵點A在反比例函數y=

3

x

上，
∴當y=-

3

2

時，x=-2，
∴A（-2，-

3

2

），
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，AD=

3

2

，
∴CD=

3

2

，
∴OC=OD-CD=2-

3

2

=

1

2

，
∴點C的坐標為（-

1

2

，0）；
④
當點A在第三象限時，如上圖，
過點A作AD⊥x軸于D．
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABC=60°，AB=1，
∴BD=

1

2

，AD=

3

2

，
∵點A在反比例函數y=

3

x

上，
∴當y=-

3

2

時，x=-2，
∴A（-2，-

3

2

），
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，AD=

3

2

，
∴CD=

3

2

，
∴OC=OD+CD=2+

3

2

=

7

2

，
∴點C的坐標為（-

7

2

，0）．
綜上，可知點C的坐標為（

1

2

，0）或（-

1

2

，0）或（

7

2

，0）或（-

7

2

，0）．

點評：本題考查反比例函數的綜合運用以及30°角的直角三角形的性質，本題的關鍵是看到C的位置有4種不同的情況．