Question

如圖，已知反比例函數y=過點P，P點的坐標為（3-m，2m），m是分式方程的解，PA⊥x軸于點A，PB⊥y軸于點B．
（1）試判斷四邊形PAOB的形狀，并說明理由；

（2）連接AB，E為AB上的一點，EF⊥BP于點F，G為AE的中點，連接OG、FG，試問FG和OG有何數量關系？請寫出你的結論并證明；

（3）若M為反比例函數y=在第三象限內的一動點，過M作MN⊥x軸于交AB的延長線于點N，是否存在一點M使得四邊形OMNB為等腰梯形？若存在，請求出M點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）四邊形PAOB是正方形．
理由如下：
∵∠AOB=∠OBP=∠OAP=90°
∴四邊形PAOB是矩形
m-3+m-2=-3
解得：m=1
經檢驗知m=1是原分式方程的解
∴P（2，2）
∴PB=PA=2
∴四邊形PAOB是正方形；

（2）OG=FG．
證明：延長FE交OA于點H，連接GH，
∵∠HFB=∠FBO=∠BOH=90°
∴BOHF是矩形
∴BF=OH
∵∠FBE=∠FEB=45°
∴EF=BF=OH
∵∠EHA=90°，G為AE的中點
∴GH=GE=GA
∴∠GEH=∠GAH=45°
∴∠GEF=∠GHO
∴△GEF≌△GHO
∴OG=FG；

（3）由題意知：∠BNM=45°
∵要讓四邊形OBNM為等腰梯形
∴∠BNM=∠NMO=45°
∴設M點的坐標為（x，x），代入
∴x=±2
∵M是第三象限上一動點
∴x=-2
∴M點的坐標為（-2，-2）．
分析：（1）解出分式方程得到m的值，進而可判斷出四邊形PAOB的形狀；
（2）應猜想相等，找這兩條線段所在三角形全等的條件；
（3）易知∠BNM=45°，要想為等腰梯形，∠OMN=45°，那么點M的橫縱坐標相等．代入反比例函數即可．
點評：證線段相等，通常是證明線段所在的三角形全等；等腰梯形同一底上的兩個角是相等的；函數圖象過某個點，這個點的坐標應適合這個函數解析式．