Question

已知：如圖，在△ABC中，D是AB邊上一點，圓O過D、B、C三點，∠DOC=2∠ACD=90°．
（1）求證：直線AC是圓O的切線；
（2）如果∠ACB=75°，圓O的半徑為2，求BD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明OC⊥AC即可．根據∠DOC是等腰直角三角形可得∠DCO=45°．又∠ACD=45°，所以∠ACO=90°，得證；
（2）如果∠ACB=75°，則∠BCD=30°；又∠B=∠O=45°，解斜三角形BCD求解．所以作DE⊥BC，把問題轉化到解直角三角形求解．先求CD，再求DE，最后求BD得解．
解答：（1）證明：∵OD=OC，∠DOC=90°，
∴∠ODC=∠OCD=45°．
∵∠DOC=2∠ACD=90°，
∴∠ACD=45°．
∴∠ACD+∠OCD=∠OCA=90°．
∵點C在圓O上，
∴直線AC是圓O的切線．

（2）解：方法1：∵OD=OC=2，∠DOC=90°，
∴CD=2．
∵∠ACB=75°，∠ACD=45°，
∴∠BCD=30°，
作DE⊥BC于點E，則∠DEC=90°，
∴DE=DCsin30°=．
∵∠B=45°，
∴DB=2．
方法2：連接BO
∵∠ACB=75°，∠ACD=45°，
∴∠BCD=30°，∴∠BOD=60°
∵OD=OB=2
∴△BOD是等邊三角形
∴BD=OD=2．
點評：此題考查了切線的判定方法和解直角三角形，內容單一，難度不大．注意：解斜三角形通常通過作垂線把問題轉化為解直角三角形求解．