Question

為了美化校園環境，南開中學決定對后門的桃李湖進行土建改造，在改造過程中，計劃購買并種植樹苗400株，并要求兩年后這400株樹苗對校園內的空氣凈化指數不低于90．現可供選擇的樹苗有桃樹、李樹、柳樹三種，并且要求購買柳樹的棵樹y（株）與桃樹的棵樹x（株）存在如表關系：

桃樹x（株）	50	60	70	80	90
柳樹y（株）	300	280	260	240	220

某樹苗公司提供如下信息：

樹苗	樹苗批發的單價（元/株）	兩年后每棵樹對空氣的凈化指數
桃樹	300	0.4
李樹	200	0.1
柳樹	p	0.2

其中每棵柳樹的批發價格p（元）與株樹y（株）的關系可用右圖的圖象反映．
（1）直接寫出y與x及p與y的函數關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
（2）當x為何值時，才能使購買樹苗的總費用w（元）最低？最低的總費用是多少元？
（3）若學校要求柳樹種植超過100株，則種植這400株樹苗需要的人工費m=3x²-560x+16800，每年每棵樹保養的費用預計50元，若購買、種植和保養這400株樹苗兩年預計共花費學校16萬元，且使校園內空氣凈化指數最高，則需要購買桃樹多少株？

Answer 1

解：（1）將（50，300），（60，280）代入y=kx+b得：
，
解得：
∴y與x的函數關系式為：y=-2x+400，
設p與y的函數關系式為：P=ay+c，
，
解得：，
∴p與y的函數關系式為：P=-2.5y+700，
∴p與y的函數關系式為：P=；

（2）當0≤y≤100時，由，
解得：150≤x≤200，
w=300x+200（400-x-y）+450y=-400x+180000，
∵-400＜0，
∴w隨x的增大而減小，
∴x=200時，w_最小=100000．
當y≥100時，由，
解得：100≤x≤150，
w=300x+200（400-x-y）+py
=500x+[-（-2x+400）+500]（-2x+400）
=-2x²+300x+120000，
∵x=-=75且100≤x≤150時，w隨x增大而減小，
∴x=150時，w_最小=120000，
又∵10000＜120000，
∴x=200時，w最小=100000，
答：當x=200時，購買樹苗的總費用最少，最少為100000元；

（3）由題意得出：（-2x²+300x+120000）+（3x²-560x+16800）+2×50×400=160000，
∴x²-260x+16800=0，
解得：x₁=120，x₂=140，
又∵使空氣凈化指數n=0.4x+0.1x+0.2（-2x+400）=0.1x+80最高，
∴x=140，
答：需要購買桃樹140株．
分析：（1）根據題意結合圖表以及函數圖象上點的坐標求出y與x以及P與y之間的函數關系式即可；
（2）分別根據當0≤y≤100時，當y≥100時，設購買樹苗的總費用為W元，分別得出函數最值即可；
（3）根據購買樹苗的總費+人工費+保養費=160000，即可得出x的值，進而得出需要購買桃樹的數量．
點評：此題主要考查了利用一次函數與二次函數的模型解決實際問題的能力．要先根據題意列出函數關系式，再代數求值．解題的關鍵是要分析題意根據實際意義準確的列出解析式，再把對應值代入求解．注意要根據自變量的實際范圍確定函數的最值．