Question

如圖，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，動點M從點D出發，按折線DCBAD方向以2cm/s的速度運動，動點N從點D出發，按折線DABCD方向以1cm/s的速度運動．
（1）若動點M、N同時出發，經過幾秒鐘兩點相遇？
（2）若點E在線段BC上，BE=1cm，若動點M、N同時出發，相遇時停止運動．
①經過幾秒鐘，點A、E、M、N組成平行四邊形？
②經過幾秒鐘，點A、E、M、N組成等腰梯形？

Answer 1

分析：（1）相遇時，M和N所經過的路程正好是矩形的周長，在速度已知的情況下，只需列方程即可解答．
（2）因為按照N的速度和所走的路程，在相遇時包括相遇前，N一直在AD上運動，當點M運動到BC邊上的時候，點A、E、M、N才可能組成平行四邊形，其中有兩種情況，即當M到C點時以及在BC上時，所以要分情況討論．

解答：解：（1）設t秒時兩點相遇，則有t+2t=24，
解得t=8．
答：經過8秒兩點相遇．

（2）①由（1）知，點N一直在AD上運動，所以當點M運動到BC邊上的時候，點A、E、M、N才可能組成平行四邊形，所以2＜t＜6，
設經過t秒，四點可組成平行四邊形．分兩種情形：
①當M點在E點右側，
如圖：此時AN=EM，則四邊形AEMN是平行四邊形，
∵DN=t，CM=2t-4，
∴AN=8-t，EM=8-1-（2t-4），
∴8-t=8-1-（2t-4），
即：t-（2t-4）=1，解得t=3，
當M點在B點與E點之間，則MC=2t-4，BM=8-（2t-4）=12-2t，
∴ME=1-（12-2t）=2t-11，
2t-11=8-t，解得t=

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（舍去），
∴當t=3時，點A、E、M、N組成平行四邊形；

②如圖，當M在E的右側時，AN-EM=2BE=2，
∵AN=8-t，EM=8-1-（2t-4）=11-2t，
則：8-t-（11-2t）=2
解得：t=5，
M于E左側時，AN-EM=2BM，
∵ME=1-（12-2t）=2t-11，BM=12-2t，
∴8-t-（2t-11）=2（12-2t），
解得：t=5，
∴當t=5時，點A、E、M、N組成等腰梯形．

點評：本題主要考查了平行四邊形的判定及性質，難度較大，點的運用會使學生感覺有一定的困難，但仔細分析后會發現考查的還是一些基本性質的運用．