Question

如圖，已知B（-1，0），C（1，0），A為y軸正半軸上一點，點D為第二象限一動點，E在BD的延長線上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．
（1）求證：∠ABD=∠ACD；
（2）求證：AD平分∠CDE；
（3）若在D點運動的過程中，始終有DC=DA+DB，在此過程中，∠BAC的度數是否變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出∠BAC的度數？

Answer 1

分析：（1）根據∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，再結合∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，即可得出結論．
（2）過點A作AM⊥CD于點M，作AN⊥BE于點N．運用“AAS”證明△ACM≌△ABN得AM=AN．根據“到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上”得證；
（3）運用截長法在CD上截取CP=BD，連接AP．證明△ACP≌ABD得△ADP為等邊三角形，從而求∠BAC的度數．

解答：證明：（1）∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，
又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，
∴∠ABD=∠ACD；
（2）過點A作AM⊥CD于點M，作AN⊥BE于點N．
則∠AMC=∠ANB=90°．
∵OB=OC，OA⊥BC，
∴AB=AC，
∵∠ABD=∠ACD，
∴△ACM≌△ABN （AAS）
∴AM=AN．
∴AD平分∠CDE．（到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上）；
（3）∠BAC的度數不變化．
在CD上截取CP=BD，連接AP．
∵CD=AD+BD，
∴AD=PD．
∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CP，
∴△ABD≌△ACP．
∴AD=AP；∠BAD=∠CAP．
∴AD=AP=PD，即△ADP是等邊三角形，
∴∠DAP=60°．
∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．

點評：此題考查全等三角形的判定與性質，運用了角平分線的判定定理和“截長補短”的數學思想方法，綜合性較強．