Question

已知拋物線y=x²+kx+k-1．
（1）求證：無論k為什么實數，拋物線經過x軸上的一定點；
（2）設拋物線與y軸交于C點，與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點，且滿足x₁＜x₂，|x₁|＜|x₂|，S_△ABC=6．問：過A，B，C三點的圓與該拋物線是否有第四個交點？試說明理由．如果有，求出其坐標．

Answer 1

分析：（1）令y=0，解方程x²+kx+k-1=0，即可求出拋物線與x軸兩交點的橫坐標，定點為與k值無關的點；
（2）過A、B、C三點的圓與拋物線有第四個交點D，根據A、B、C三點坐標，討論k的范圍，表示△ABC的面積，列方程求k，再根據對稱性求D點坐標．

解答：（1）證明：令y=O，有x²+kx+k-1=0，
解得x₁=-1，x₂=1-k，
∴拋物線通過x軸上一定點（-1，0）．

（2）解：過A、B、C三點的圓與拋物線有第四個交點D．
∵|x₁|＜|x₂|，C點在y軸上，
∴點C不是拋物線的頂點，
由于圓和拋物線都是軸對稱圖形，
過A、B、C三點的圓與拋物線組成一個軸對稱圖形，
所以過A、B、C三點的圓與拋物線的第四個交點與C點是對稱點．
∵x₁=-1＜0，x₁＜x₂，|x₁|＜|x₂|，
∴x₂＞1，
即x₂=1-k＞1，
∴k＜0
∵S_△ABC=6，
∴

1

2

|1-k|•（1+|1-k|）=6
∴（1-k）²+（1-k）-12=0，
解得1-k=4或1-k=3．
∴k=5（舍去），k=-2，
∴y=x²-2x-3，
其對稱軸為x=1，
根據對稱性，D點坐標為（2，-3）．

點評：本題考查了拋物線與坐標軸交點的坐標求法，根據面積確定拋物線解析式的待定系數及拋物線的對稱性的運用．