Question

如圖，拋物線y=x²-4x-1頂點為D，與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C．
（1）求這條拋物線的頂點D的坐標；
（2）經過點（0，4）且與x軸平行的直線與拋物線y=x²-4x-1相交于M、N兩點（M在N的左側），以MN為直徑作⊙P，過點D作⊙P的切線，切點為E，求點DE的長；
（3）上下平移（2）中的直線MN，以MN為直徑的⊙P能否與x軸相切？如果能夠，求出⊙P的半徑；如果不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用配方法即可將函數解析式變形為：y=（x-2）²-5，由頂點式即可求得這條拋物線的頂點D的坐標；
（2）由經過點（0，4）且與x軸平行的直線與拋物線y=x²-4x-1相交于M、N兩點（M在N的左側），即可求得M與N的坐標，即可求得P的坐標，然后即可求得PE與PD的長，根據切線的性質，由勾股定理即可求得DE的長；
（3）根據已知，可得點P的橫坐標為2，又由以MN為直徑的⊙P與x軸相切，可得拋物線過點（2+r，r）或（2+r，-r），將點的坐標代入解析式即可求得r的值，則可證得以MN為直徑的⊙P能與x軸相切．

解答：解：（1）∵y=x²-4x-1=x²-4x+4-5=（x-2）²-5，
∴點D的坐標為（2，-5）；

（2）∵當y=4時，x²-4x-1=4，
解得x=-1或x=5，
∴M坐標為（-1，4），點N坐標為（5，4），
∴MN=6．P的半徑為3，點P的坐標為（2，4），
連接PE，則PE⊥DE，
∵PD=9，PE=3，
根據勾股定理得DE=6

2

；

（3）能夠相切．
理由：設⊙P的半徑為r，根據拋物線的對稱性，拋物線過點（2+r，r）或（2+r，-r），
代入拋物線解析式得：（2+r）²-4（2+r）-1=r，
解得r=

21 +1

2

或r=

1- 21

2

（舍去）．
把（2+r，-r）代入拋物線得：（2+r）²-4（2+r）-1=-r，
解得：r=

-1+ 21

2

，或r=

-1- 21

2

（舍去）．

點評：此題考查了二次函數的一般式與頂點式的轉化，還考查了圓的切線的性質等知識，是二次函數的綜合題型．此題綜合性很強，注意數形結合與方程思想的應用．