Question

已知二次函數y=ax²+bx+c的圖象過點（2，0）且與直線相交于B、C兩點，點B在x軸上，點C在y軸上．
（1）求二次函數的解析式．
（2）如果P（x，y）是線段BC上的動點，O為坐標原點，試求△POA的面積S與x之間的函數關系式，并求出自變量的取值范圍．
（3）是否存在這樣的點P，使PO=AO？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先確定直線與x軸的交點B的坐標為（4，0），與y軸的交點C的坐標為（0，3），然后利用待定系數法求二次函數的解析式；
（2）根據三角形面積公式得到S=×2×y=y，然后利用y=-x+3的函數關系用x表示S即可；
（3）先利用勾股定理計算出BC，再利用面積法求出O點到BC的距離OD=2.5，則點P到O點的最短距離為2.5，所以不存在點P，使PO=AO=2．
解答：解：（1）直線與x軸的交點B的坐標為（4，0），與y軸的交點C的坐標為（0，3），
把A（2，0）、B（4，0）、C（0，3）代入y=ax²+bx+c，
解得，
所以二次函數的解析式為y=x²-x+3；

（2）S=×2×y
=-x+3（0≤x≤4）；

（3）不存在．理由如下：
作OD⊥BC，如圖，
∵B（4，0）、C（0，3），
∴OB=4，OC=3，
∴BC==5，
∴OD===2.5，
∴點P到O點的最短距離為2.5，
∴不存在點P，使PO=AO=2．
點評：本題考查了二次函數的綜合題：常用待定系數法求二次函數的解析式；會求直線與坐標軸的交點坐標和運用勾股定理進行幾何計算．