Question

【題目】如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)，是上一點(diǎn)，，的延長線交于點(diǎn)，連接，，．

（1）求證：．

（2）已知，．

①求的半徑長．

②若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求與的面積之比．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2)①5;②

【解析】

（1）連接，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得，從而得出，然后根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余可得，從而得出，即可證出結(jié)論；

（2）①根據(jù)垂徑定理和條件可得，連接，設(shè)的半徑為，根據(jù)勾股定理列出方程即可求出結(jié)論；

②由①結(jié)論求出AE、DE，根據(jù)勾股定理求出AD，根據(jù)相似三角形的判定定理可得，列出比例式即可求出AG和AF，然后利用勾股定理求出EF，即可求出FD，根據(jù)三角形中線的性質(zhì)可得，最后根據(jù)等高的兩個三角形面積比等于底之比即可求出結(jié)論．

（1）證明：連接

∵是的直徑

∴

∴

∵

∴

∴

∵

∴

（2）①∵，

∴

連接，設(shè)的半徑為

則，，

∴

解得

即的半徑長為5．

②∵，

∴

∵，

∴

∴

∵點(diǎn)是的中點(diǎn)

∴

∴，

∴

∴

∴點(diǎn)是的中點(diǎn)

∴

∴