Question

23、兩個邊長不定的正方形ABCD與AEFG如圖1擺放，將正方形AEFG繞點A逆時針旋轉一定角度．
（1）若點E落在BC邊上（如圖2），試探究線段CF與AC的位置關系并證明；
（2）若點E落在BC的延長線上時（如圖3），（1）中結論是否仍然成立？若不成立，請說明理由；若成立，加以證明．

Answer 1

分析：（1）如圖，過E作EM⊥CB于E交AC與M，而AE⊥EF，由此得到∠AEF=90°，根據同角的余角相等可以得到∠AEM=∠CEF，又AC是正方形的對角線，由此得到∠ACE=45°，接著得到CE=ME，而AE=EF，由此即可證明△AEM≌△FEC，然后全等三角形的性質即可解決問題；
（2）若點E落在BC的延長線上時（如圖3），（1）中結論仍然成立；過F作FH⊥BC，交BC的延長線于H；首先證△FEH≌△EAB，可得到EH=AB，FH=BE；注意上面兩條相等的線段，即EH=AB=BC，FH=BE=BC+CE?FH=EH+CE=CH，即∠FCH=45°，然后根據∠ACB的度數，即可得到AC、CF的位置關系．

解答：解：（1）如圖，過E作EM⊥CB于E交AC與M，
而AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEM+∠MEF=∠CEF+∠MEF，
∴∠AEM=∠CEF，
又AC是正方形的對角線，
∴∠ACE=45°，
∴CE=ME，
而AE=EF，
∴△AEM≌△FEC，
∴∠CFE=∠CAE，
而∠ANE=∠CNF，
∴∠ACF=∠AEF=90°，
即CF⊥AC；
（2）若點E落在BC的延長線上時（如圖3），（1）中結論是否仍然成立．
過F作FH⊥BC，交BC的延長線于H，
∵四邊形ABCD、四邊形AEFG是正方形，
∴∠AEF=∠B=∠EHF=90°，AE=EF，
∴∠AEB+∠BAE=∠AEB+∠FEH=90°，
∴∠BAE=∠FEH，
∴△FEH≌△EAB，
∴EH=AB，FH=BE，
即EH=AB=BC，
FH=BE=BC+CE，
∴FH=EH+CE=CH，
即∠FCH=45°，而∠ACB=45°，
∴AC⊥CF．

點評：此題比較難，通過作輔助線構造全等三角形，然后利用正方形的性質證明兩個三角形全等，再利用全等三角形的性質即可解決問題．解題的關鍵是如何作輔助線，兩個小題的輔助線相似地方都是通過作垂線構造等腰直角三角形，為全等三角形創造全等條件．