Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點G，點F是CD上一點，且滿足=，連接AF并延長交⊙O于點E，連接AD、DE，若CF=2，AF=3．給出下列結論：
①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E=；④S_△DEF=4．
其中正確的是    （寫出所有正確結論的序號）．

Answer 1

【答案】分析：①由AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，根據垂徑定理可得：=，DG=CG，繼而證得△ADF∽△AED；
②由=，CF=2，可求得DF的長，繼而求得CG=DG=4，則可求得FG=2；
③由勾股定理可求得AG的長，即可求得tan∠ADF的值，繼而求得tan∠E=；
④首先求得△ADF的面積，由相似三角形面積的比等于相似比，即可求得△ADE的面積，繼而求得S_△DEF=4．
解答：解：①∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，
∴=，DG=CG，
∴∠ADF=∠AED，
∵∠FAD=∠DAE（公共角），
∴△ADF∽△AED；
故①正確；
②∵=，CF=2，
∴FD=6，
∴CD=DF+CF=8，
∴CG=DG=4，
∴FG=CG-CF=2；
故②正確；
③∵AF=3，FG=2，
∴AG==，
∴在Rt△AGD中，tan∠ADG==，
∴tan∠E=；
故③錯誤；
④∵DF=DG+FG=6，AD==，
∴S_△ADF=DF•AG=×6×=3，
∵△ADF∽△AED，
∴=（）²，
∴=，
∴S_△AED=7，
∴S_△DEF=S_△AED-S_△ADF=4；
故④正確．
故答案為：①②④．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、圓周角定理、垂徑定理、勾股定理以及三角函數等知識．此題綜合性較強，難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．