Question

如圖7，⊙O中AB是直徑，C是⊙O上一點，∠ABC=45⁰，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，點D在線段AC上。

（1）證明：B、C、E三點共線；

（2）若M是線段BE的中點，N是線段AD的中點，證明：MN=OM；

（3）將△DCE繞點C逆時針旋轉（0⁰<<90⁰）后，記為△D₁CE₁（圖8），若M₁是線段BE₁的中點，N₁是線段AD₁的中點，M₁N₁=OM₁是否成立？若是，請證明：若不是，說明理由。

Answer 1

（1）證明：∵ AB是⊙O的直徑

　　　　　　 ∴ ∠ACB=90°

　　　　　 ∵ ∠DCE=90°

　　　　　 ∴∠ACB＋∠DCE=180°

　　　　　 ∴ B、C、E三點共線�！�

(2)證明：連接ON、AE、BD，延長BD交AE于點F

　　　 ∵ ∠ABC=45°，∠ACB=90°

　　　 ∴ BC=AC，又∠ACB=∠DCE=90°，DC=EC

　　　 ∴ △BCD≌△ACE

　　　 ∴ BD=AE，∠DBC=∠CAE

　　　 ∴∠DBC＋∠AEC=∠CAE＋∠AEC=90°

　　　 ∴ BF⊥AE

　　

∵ AO=OB，AN=ND

　　　 ∴ ON=BD，ON∥BD

∵ AO=OB，EM=MB

　　 ∴ OM=AE，OM∥AE

　　　 ∴ OM=ON，OM⊥ON

　　　 ∴ ∠OMN=45°，又 cos∠OMN=

　　　 ∴

(3) 成立，證明同（2）。