Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=﹣ x2+bx+c與x軸交于A、D兩點，與y軸交于點B，四邊形OBCD是矩形，點A的坐標為（1，0），點B的坐標為（0，4），已知點E（m，0）是線段DO上的動點，過點E作PE⊥x軸交拋物線于點P，交BC于點G，交BD于點H．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）當點P在直線BC上方時，請用含m的代數式表示PG的長度；
（3）在（2）的條件下，是否存在這樣的點P，使得以P、B、G為頂點的三角形與△DEH相似？若存在，求出此時m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=﹣ x2+bx+c與x軸交于點A（1，0），與y軸交于點B（0，4），

∴ ，解得 ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2﹣ x+4

（2）

解：∵E（m，0），B（0，4），PE⊥x軸交拋物線于點P，交BC于點G，

∴P（m，﹣ m2﹣ m+4），G（m，4），

∴PG=﹣ m2﹣ m+4﹣4=﹣ m2﹣ m；

點P在直線BC上方時，故需要求出拋物線與直線BC的交點，

令4=﹣ m2﹣ m+4，解得m=﹣2或0，

即m的取值范圍：﹣2＜m＜0，

PG的長度為：﹣ m2﹣ m（﹣2＜m＜0）

（3）

解：在（2）的條件下，存在點P，使得以P、B、G為頂點的三角形與△DEH相似．

∵y=﹣ x2﹣ x+4，

∴當y=0時，﹣ x2﹣ x+4=0，

解得x=1或﹣3，

∴D（﹣3，0）．

當點P在直線BC上方時，﹣2＜m＜0．

設直線BD的解析式為y=kx+4，

將D（﹣3，0）代入，得﹣3k+4=0，

解得k= ，

∴直線BD的解析式為y= x+4，

∴H（m， m+4）．

分兩種情況：

①如果△BGP∽△DEH，那么 ，

即 = ，

解得m=﹣3或﹣1，

由﹣2＜m＜0，故m=﹣1；

②如果△PGB∽△DEH，那么 ，

即 = ，

由﹣2＜m＜0，解得m=﹣ ．

綜上所述，在（2）的條件下，存在點P，使得以P、B、G為頂點的三角形與△DEH相似，此時m的值為﹣1或﹣ ．

【解析】（1）將A（1，0），B（0，4）代入y=﹣ x2+bx+c，運用待定系數法即可求出拋物線的解析式；（2）由E（m，0），B（0，4），得出P（m，﹣ m2﹣ m+4），G（m，4），則PG=﹣ m2﹣ m+4﹣4=﹣ m2﹣ m，點P在直線BC上方時，故需要求出m的取值范圍；（3）先由拋物線的解析式求出D（﹣3，0），則當點P在直線BC上方時，﹣2＜m＜0．再運用待定系數法求出直線BD的解析式為y= x+4，于是得出H（m， m+4）．當以P、B、G為頂點的三角形與△DEH相似時，由于∠PGB=∠DEH=90°，所以分兩種情況進行討論：①△BGP∽△DEH；②△PGB∽△DEH．都可以根據相似三角形對應邊成比例列出比例關系式，進而求出m的值．
【考點精析】關于本題考查的二次函數的性質，需要了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．