Question

【題目】正六邊形ABCDEF的邊長為cm，點P為ABCDEF內的任意一點，點P到正六邊形ABCDEF各邊所在直線的距離之和為s，則s=_____cm．

Answer 1

【答案】18

【解析】過P作AB的垂線，交AB、DE分別為H、K，連接BD，由正六邊形的性質可知AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，故HK⊥DE，過C作CG⊥BD，由等腰三角形的性質及正六邊形的內角和定理可知，DB⊥AB⊥DE，再由銳角三角函數的定義可求出BG的長，進而可求出BD的長，由正六邊形的性質可知點P到AF與CD的距離和及P到EF、BC的距離和均為BD的長，故可得出結論．

過P作AB的垂線，交AB、DE分別為H、K，連接BD，

∵六邊形ABCDEF是正六邊形，

∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，且P到AF與CD的距離和及P到EF、BC的距離和均為HK的長， ∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°， ∴∠CBD=∠BDC=30°，

∴BD∥HK，且BD=HK， ∵CG⊥BD， ∴BD=2BG=2×BC×cos∠CBD=2×2×=6，

∴點P到各邊距離之和為3BD=3×6=18．