Question

如圖，△ABC的三個頂點在⊙0上，AD⊥BC，D為垂足，E是

BC

的中點，
求證：∠OAE=∠EAD．（寫出兩種以上的證明方法）

Answer 1

分析：方法一：連接OB，利用同弧所對的圓周角是它所對圓心角的一半，三角形內角和定理，同弧所對的圓周角相等即可證明此題．
方法二：連接OE，利用垂徑定理可得OE⊥BC，再利用AD⊥BC，可得OE∥AD，然后即可證明．

解答：證明：（1）連接OB，
則∠AOB=2∠ACB，∠OAB=∠OBA，
∵AD⊥BC，
∴∠OAB=

1

2

（180°-∠AOB），
=90°-

1

2

∠AOB=90°-∠ACB=∠DAC，
∵E是弧BC的中點，
∴∠EAB=∠EAC，
∴∠EAO=∠EAB-∠OAB=∠EAC-∠DAC=∠EAD．

（2）連接OE，
∵E是

BC

的中點，
∴弧BE=弧EC，
∴OE⊥BC，
∵AD⊥BC，
∴OE∥AD，
∴∠OEA=∠EAD，
∵OE=OA，
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠OAE=∠EAD．

點評：此題主要考查學生對三角形內角和定理和圓心角、弧、弦的關系等知識點的理解和掌握，此題難度不大，關鍵是作好輔助線，方法一：連接OB，方法二：連接OE，屬于中檔題．