Question

已知一次函數y₁＝2x，二次函數y₂＝x²＋1．

(Ⅰ)根據表中給出的x的值，計算對應的函數值y₁，y₂，并填在表格中：

(Ⅱ)觀察第(Ⅰ)問表中有關的數據，證明如下結論；在實數范圍內，對于x的同一個值，這兩個函數所對應的函數值y₁≤y₂均成立；

(Ⅲ)試問，是否存在二次函數y₃＝ax²＋bx＋c，其圖象經過點(－5，2)，且在實數范圍內，對于x的同一個值，這三個函數所對應的函數值y₁≤y₃≤y₂均成立，若存在，求出函數y₃的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)填表如下： 　　(Ⅱ)證明：∵y1－y2＝2x－(x2＋1) 　　＝－x2＋2x－1 　　＝－(x－1)2≤0 　　∴當自變量x取任意實數時，y1≤y2均成立． 　　(Ⅲ)解：由已知，二次函數y3＝ax2＋bx＋c的圖象經過點(－5，2)，得 　　25a－5b＋c＝0．　　　① 　　∵當x＝1時，y1＝y2＝2，y3＝a＋b＋c， 　　若對于自變量x取任意實數時，y1≤y3≤y2成立，則有2≤a＋b＋c≤2， 　　∴a＋b＋c＝2．　　　　② 　　由①②，得b＝4a，c＝2－5a， 　　∴y3＝ax2＋4ax＋(2－5a)． 　　當y1≤y3時，有 　　2x≤ax2＋4ax＋(2－5a)， 　　即ax2＋(4a－2)x＋(2－5a)≥0， 　　若二次函數y＝ax2＋(4a－2)x＋(2－5a)對于一切實數x，函數值大于或等于零，必須 　　思路點撥：(Ⅰ)根據函數的對應關系通過計算，得出結果，直接填表． 　　(Ⅱ)只須證明對于任意的x∈R，y1≤y2恒成立即可． 　　(Ⅲ)由y1≤y3≤y2及(Ⅰ)表知y1，y2，y3均須通過點(1，2)． 　　這樣y3的圖象通過兩點(1，2)及(－5，2)，從而可得出兩個關于a、b、c的關系式．于是b、c均可用a的代數式表示出來．再由不等式組y1≤y3≤y2確定a的值，從而可使問題獲解． 　　評注：問題(Ⅲ)是利用已知條件和隱含條件求二次函數解析式問題，隱含條件y1，y2，y3均通過點(1，2)的挖掘是解決問題的關鍵．事實上，如果將y1＝2x及y2＝x2＋1的圖象畫出，y1與y2必須有一個公共點(1，2)，而滿足y1≤y3≤y3應也必通過這一點，從而可使問題的獲解心中有數(如下圖)．