Question

（2006•湖北）將一把三角尺放在邊長為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點P在對角線AC上滑動，直角的一邊始終經過點B，另一邊與射線DC相交于點Q．設A、P兩點間的距離為x．
（1）當點Q在邊CD上時，請你測量線段PQ與線段PB的長度（至少兩次），將你測量的實際結果填入下表，由此猜想線段PQ與線段PB之間有怎樣的大小關系并證明你得到的結論；

	線段PQ的長度	線段PB的長度
第一次
第二次

（2）當點Q在邊CD上時，設線段CQ的長度為y，求y與x之閭的函數解析式，并寫出x的取值范圍；
（3）當點Q在邊DC的延長線上時，設線段CQ的長度為y，求y與x之間的函數解析式，并寫出x的取值范圍；
（4）當點P在線段AC上滑動時，△PCQ的面積s能否等于和？如果可能，求出相應的x值；如果不可能，試說明理由．（圖①，②，③的形狀大小相同，圖①供操作、實驗用，圖②，③備用）．

Answer 1

【答案】分析：（1）測量略．PB=PQ
可通過構建全等三角形來證PB=PQ，過點P作PF⊥BC于點F，PE⊥CD于點E，由于△PEC是等腰直角三角形，因此PE=EC，可得出四邊形PECF是正方形，由此可得出PE=PF，根據同角的余角相等可得出∠FPB=∠QPE，這兩個三角形中又有一組直角，因此構成了全等三角形判定條件中ASA的條件．根據全等三角形即可得出PB=PQ．
（2）可先用x表示出PC，然后在直角三角形PFC中求出FC的長，即可求出BF的長，也就求出了CE，QE的長，然后根據CQ=CE-QE即可得出y，x的函數關系式．
（3）當Q在CD延長線上時，CQ=EQ-EC，解法同（2）．
（4）由于△PCQ面積最大時，P與A重合，Q與D重合，此時面積為＜，因此無論什么時候面積都不可能是．
當面積為時，可根據（2）（3）兩種情況進行分類討論，通過得出不同的函數關系式，進而根據函數的性質得出符合條件的x的值．
解答：解：（1）（說明：表略，兩線段長度基本相等即可）經測量，得PB=PQ
證明：如圖，過點P作PF⊥BC于點F，PE⊥CD于點E，
∵∠PCE=45°，∠PEQ=90°，
∴PE=EC．
∴四邊形PFCE是正方形．
∴PE=PF．
∵∠BPF=∠QPE=90°-∠FPQ，∠BFP=∠PEQ=90°，
∴△BPF≌△QPE．
∴BP=PQ；

（2）∵AP=x，CQ=y，
∵AB=BC=1，
∴AC=，
∵PFCE是正方形，
∴PC=-x，
∴CE=1-x，
∴BF=1-FC=1-（1-x），
=x，
∴EQ=x，
∴y=CQ=（1-x）-x=1-x，
∴y=1-x（0≤x≤）；

（3）由（2）易證：當點Q在邊DC的延長線上時，
∵PC=-x，利用勾股定理得出：
∴EC=1-x，
EQ=BF=MP=x，
CQ=EQ-EC=x-1
Y=x-1（≤x≤）；

（4）當點P在線段AC上滑動時，△PCQ的最大面積為
∴△PCQ的面積不可能是
當0≤x≤時，
S=-
解得x₁=（舍去），x₂=
∴此時x=10分
當時
S_△PCQ=CQ•PE=-+
解得x₃=x₄=．
綜上所述，當P在線段AC上滑動時，△PCQ的面積不可能為，可能為．
此時x的值為和．
點評：本題結合運動類問題考查了一次函數和二次函數的綜合應用，考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．