Question

如圖，△ABC的三個頂點坐標分別為A（-2，0）、B（6，0）、C（0，），拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經過A、B、C三點．
（1）求直線AC的解析式；
（2）求拋物線的解析式；
（3）若拋物線的頂點為D，在直線AC上是否存一點P，使得△BDP的周長最小？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出一次函數解析式，代入A、C兩點的坐標即可解決問題；
（2）把A、B、C三點代入拋物線y=ax²+bx+c，列出三元一次方程組解答即可；
（3）利用軸對稱圖形的性質，找出點B關于直線AC的對稱點，進一步利用直角三角形的性質以及待定系數法與兩直線的相交的關系求得答案．
解答：解：（1）設直線AC的解析式為y=kx+b，
把A（-2，0），C（0，-2）代入解析式得，
，
解得，
∴；

（2）把A（-2，0），B（6，0），C（0，-2）三點代入拋物線y=ax²+bx+c得，
，
解得：，
∴所求拋物線方程為；

（3）存在滿足條件的點P．
∵拋物線方程為，
∴頂點D的坐標為
要使△BDP的周長最小，只需DP+PB最小，
延長BC到點B′，使B′C=BC，連接B′D交直線AC于點P，
∵AC²=16，BC²=48，AB²=64，
∴AB²=AC²+BC²，
∴BC⊥AC，
∴B'P=BP，
∴DP+BP=DP+B′P=B′D最小，
則此時△BDP的周長最小，
∴點P就是所求的點，
過點B′作B′H⊥AB于點H，
∵B（6，0），C（0，），
∴在Rt△BOC中，BC=4，
∵OC∥B′H，B′C=BC，
∴OH=BO=6，
，
∴，
設直線B′D的解析式為y=mx+n，
∵D，在直線B′D上，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在直線AC上存在點P，使得△BDP的周長最小，此時．
點評：此題綜合考查了待定系數法求函數解析式，軸對稱圖形的性質，兩直線的位置關系，是一道綜合性很強的題目．