Question

在直角坐標系中，點A是拋物線y＝x²在第二象限上的點，連接OA，過點O作OB⊥OA，交拋物線于點B，以OA、OB為邊構造矩形AOBC．

(1)如圖1，當點A的橫坐標為　　　　時，矩形AOBC是正方形；
(2)如圖2，當點A的橫坐標為時，
①求點B的坐標；
②將拋物線y＝x²作關于x軸的軸對稱變換得到拋物線y＝－x²，試判斷拋物線y＝－x²經過平移交換后，能否經過A，B，C三點？如果可以，說出變換的過程；如果不可以，請說明理由．

Answer 1

解：(1) －1。
(2)　①過點A作AE⊥x軸于點E，過點B作BF⊥x軸于點F，

當x＝－時，y＝(－)²＝，
即OE＝，AE＝。
∵∠AOE＋∠BOF＝180°－90°＝90°，21世
∠AOE＋∠EAO＝90°，
∴∠EAO＝∠BOF。
又∵∠AEO＝∠BFO＝90°，∴△AEO∽△OFB。
∴。
設OF＝t，則BF＝2t，∴t²＝2t，解得：t₁＝0(舍去)，t₂＝2。
∴點B(2，4)。
②過點C作CG⊥BF于點G，
∵∠AOE＋∠EAO＝90°，∠FBO＋∠CBG＝90°，∠EOA＝∠FBO，
∴∠EAO＝∠CBG。
在△AEO和△BGC中，∠AEO＝∠G=90⁰，∠EAO＝∠CBG,AO=BC，
∴△AEO≌△BGC(AAS)。∴CG＝OE＝，BG＝AE＝。
∴x_c＝2－，y_c＝4＋。∴點C()。
設過A(－，)、B(2，4)兩點的拋物線解析式為y＝－x²＋bx＋c，由題意得，
，得。
∴經過A、B兩點的拋物線解析式為y＝－x²＋3x＋2。
∵當x＝時，y＝－()²＋3×＋2＝，∴點C也在此拋物線上。
∴經過A、B、C三點的拋物線解析式為y＝－x²＋3x＋2＝－(x－)²＋。
平移方案：先將拋物線y＝－x²向右平移個單位，再向上平移個單位得到拋物線
y＝－(x－)²＋。

解析