Question

如圖，二次函數y=ax²+bx+c的圖象與y軸正半軸相交，其頂點坐標為（

1

2

，1），下列結論：①ac＜0；②a+b=0；③b²=4a（c-1）；④a+b+c＜0；⑤2a+c＜0．其中正確的個數是（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：二次函數圖象與系數的關系

專題：

分析：由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．

解答：解：①∵根據圖示知，拋物線開口方向向下，則a＜0．
拋物線與y軸交與正半軸，則c＞0，
∴ac＜0．
故①正確；
②∵拋物線的對稱軸直線x=-

b

2a

=

1

2

，
∴a=-b．
∴a+b=0．
故②正確；
③∵該拋物線的頂點坐標為（

1

2

，1），
∴1=

4ac-b2

4a

，
∴b²-4ac=-4a．
∴b²=4a（c-1）．
故③正確；
④∵根據圖示知，當x=0時，y＞0，
∴根據拋物線的對稱性知，當x=1時，y＞0，即a+b+c＞0．
故④錯誤．
⑤∵a=-b，b²-4ac=-4a，
∴a²-4ac=-4a，
∵a≠0，
∴a=4c-4．
∴2a+c=8c-8+c=7c-8．
根據圖示知，0＜c＜1，
∴0＜7c＜7，
∴2a+c=8c-8+c=7c-8＜0．
故⑤正確．
綜上所述，正確的結論有4個．
故選D．

點評：本題考查了二次函數圖象與系數的關系．二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的系數符號由拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點拋物線與x軸交點的個數確定．