Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，且AB=10，BC=6，CD=2．點E從點B出發沿BC方向運動，過點E作EF∥AD交邊AB于點F．將△BEF沿EF所在的直線折疊得到△GEF，直線FG、EG分別交AD于點M、N，當EG過點D時，點E即停止運動．設BE=x，△GEF與梯形ABCD的重疊部分的面積為y．

（1）證明△AMF是等腰三角形；
（2）當EG過點D時（如圖（3）），求x的值；
（3）將y表示成x的函數，并求y的最大值．

Answer 1

（1）由條件EF∥AD就可以得出∠A=∠EFB，∠GFE=∠AMF，由△GFE與△BFE關于EF對稱可以得出∠GFE=∠BFE，就可以得出∠A=∠AMF，從而得出結論。
（2）
（3）

解析分析：（1）由條件EF∥AD就可以得出∠A=∠EFB，∠GFE=∠AMF，由△GFE與△BFE關于EF對稱可以得出∠GFE=∠BFE，就可以得出∠A=∠AMF，從而得出結論。
（2）當EG過點D時在Rt△EDC中由勾股定理建立方程求出其解即可。
（3）分情況討論當點G不在梯形外時和點G在梯形之外兩種情況求出x的值就可以求出y與x之間的函數關系式，在自變量的取值范圍內就可以求出相應的最大值，從而求出結論。
解：（1）證明：如圖（1），∵EF∥AD，∴∠A=∠EFB，∠GFE=∠AMF。
∵△GFE與△BFE關于EF對稱，∴△GFE≌△BFE。∴∠GFE=∠BFE。
∴∠A=∠AMF。∴△AMF是等腰三角形。
（2）如圖，作DQ⊥AB于點Q，

∴∠AQD=∠DQB=90°。∴AB∥DC。∴∠CDQ=90°。
又∵∠B=90°，∴四邊形CDQB是矩形。
∴CD=QB=2，QD=CB=6，∴AQ=10﹣2=8。
在Rt△ADQ中，由勾股定理得AD=10。
∴tan∠A=。∴。
如圖3，∵EB=x，∴FB=x，CE=6﹣x。∴AF=MF=10﹣x。
∴GM=。∴GD=。∴DE=。
在Rt△CED中，由勾股定理得，解得：。
∴當EG過點D時。
（3）當點G在梯形ABCD內部或邊AD上時，。
當點G在邊AD上時，易求得x=，
∴當0＜x時，。
∴當x=時，y最大值為。
當點G在梯形ABCD外時，
∵△GMN∽△GFE，∴，即。
整理，得。
由（2）知，，∴當時，。
∵，
當x=5時，y最大值為。
∵＞，∴當x=5時，y最大值為。
綜上所述，y關于x的函數為，y最大值為。