Question

（2010•隨州）已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）頂點為C（1，1）且過原點O．過拋物線上一點P（x，y）向直線作垂線，垂足為M，連FM（如圖）．
（1）求字母a，b，c的值；
（2）在直線x=1上有一點，求以PM為底邊的等腰三角形PFM的P點的坐標，并證明此時△PFM為正三角形；
（3）對拋物線上任意一點P，是否總存在一點N（1，t），使PM=PN恒成立？若存在請求出t值，若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）頂點為C（1，1）且過原點O，可得a，b，c的值．
（2）過P作直線x=1的垂線，可求P縱坐標，知道M、P、F三點坐標，就能求出三角形各邊的長．
（3）存在，Rt△PNH中，利用勾股定理建立起y與t的關系式，推出t的值，即可得知存在這樣的點．
解答：解：（1）拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）頂點為C（1，1）且過原點O，
可得-=1，=1，c=0，
∴a=-1，b=2，c=0．

（2）由（1）知拋物線的解析式為y=-x²+2x，
故設P點的坐標為（m，-m²+2m），則M點的坐標（m，），
∵△PFM是以PM為底邊的等腰三角形
∴PF=MF，即（m-1）²+（-m²+2m-）²=（m-1）²+（-）²
∴-m²+2m-=或-m²+2m-=-，
①當-m²+2m-=時，即-4m²+8m-5=0
∵△=64-80=-16＜0
∴此式無解
②當-m²+2m-=-時，即m²-2m=-
∴m=1+或m=1-
Ⅰ、當m=1+時，P點的坐標為（1+，），M點的坐標為（1+，）
Ⅱ、當m=1-時，P點的坐標為（1-，），M點的坐標為（1-，），
經過計算可知PF=PM，
∴△MPF為正三角形，
∴P點坐標為：（1+，）或（1-，）．

（3）當t=時，即N與F重合時PM=PN恒成立．
證明：過P作PH與直線x=1的垂線，垂足為H，
在Rt△PNH中，
PN²=（x-1）²+（t-y）²=x²-2x+1+t²-2ty+y²，
PM²=（-y）²=y²-y+，
P是拋物線上的點，
∴y=-x²+2x；∴PN²=1-y+t²-2ty+y²=y²-y+，
∴-y+2ty+-t²=0，y（2t-）+（-t²）=0對任意y恒成立．
∴2t-=0且-t²=0，
∴t=，
故t=時，PM=PN恒成立．
∴存在這樣的點．
點評：本題是二次函數的綜合題，考查了二次函數圖象的對稱軸問題，判定三角形是正三角形的方法，綜合性強，能力要求極高．