Question

如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD，BC=CD，銳角∠BAC的角平分線AE交BC于點E，AF是CD邊上的中線，且PC⊥CD與AE交于點P，QC⊥BC與AF交于點Q．求證：四邊形APCQ是菱形．

Answer 1

【答案】分析：等腰三角形三線合一，可得出∠AEC和∠AFC都是直角，這樣用角的等量代換可證明∠FAC和∠PCA相等，可證明AQ∥PC，同理AP∥CQ，所以可先證明是平行四邊形，然后根據鄰邊相等證明是菱形．
解答：證明：∵AC=AD，AF是CD邊上的中線，
∴∠AFC=90°，
∴∠ACF+∠CAF=90°，
∵∠ACF+∠PCA=90°，
∴∠PCA=∠CAF，
∴PC∥AQ，
同理：AP∥QC，
∴四邊形APCQ是平行四邊形．
∵AF∥CP，AE∥CQ，
∴∠EPC=∠PAF=∠FQC，
∵AB=AC，AE平分∠BAC，
∴CE=BE=CB（等腰三角三線合一），
∵AF是CD邊上的中線，
∴CF=CD，
∵CB=DC，
∴CE=CF，
∵PC⊥CD，QC⊥BC，
∴∠ECP+∠PCQ=∠QCF+∠PCQ=90°，
∴∠PCE=∠QCF，
∴△PEC≌△QFC（AAS），
∴PC=QC，
∴四邊形APCQ是菱形．
點評：本題考查菱形的判定定理，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，以及全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定等知識點．