Question

【題目】 正方形的邊長為1，點是邊上的一個動點（與不重合)，以為頂點在所在直線的上方作.

(1)當經過點時，

①請直接填空： （可能，不可能）過點；（圖1僅供分析）

②如圖2,在上截取，過點作垂直于直線,垂足為點，冊于，求證：四邊形為正方形.

（2）當不過點時，設交邊于,且.在上存在點,過點作垂直于直線,垂足為點，使得，連接，求四邊形的最大面積.

Answer 1

【答案】（1）①不可能②證明見解析（2）

【解析】

試題分析：（1）①若ON過點D時，則在△OAD中不滿足勾股定理，可知不可能過D點；

②由條件可先判業四邊形EFCH為矩形，再證明△OFE≌△ABO，可證得結論；

（2）由條件可證明△PKO∽△OBG，利用相似三角形的性質可求得OP=2，可求得△POG面積為定值及△PKO和△OBG的關系，只要△CGB的面積有最大值時，則四邊形PKBG的面積就最大，設OB=a，BG=b，由勾股定理可用b表示出a，則可用a表示出△CBG的面積，利用二次函數的性質可求得其最大值，則可求得四邊形PKBG面積的最大值．

試題解析： （1）①若ON過點D，則OA＞AB，OD＞CD，

∴OA2＞AD2，OD2＞AD2，

∴OA2+OD2＞2AD2≠AD2，

∴∠AOD≠90°，這與∠MON=90°矛盾，

∴ON不可能過D點，

故答案為：不可能；

②∵EH⊥CD，EF⊥BC，

∴∠EHC=∠EFC=90°，且∠HCF=90°，

∴四邊形EFCH為矩形，

∵∠MON=90°，

∴∠EOF=90°﹣∠AOB，

在正方形ABCD中，∠BAO=90°﹣∠AOB，

∴∠EOF=∠BAO，

在△OFE和△ABO中

∴△OFE≌△ABO（AAS），

∴EF=OB，OF=AB，

又OF=CF+OC=AB=BC=BO+OC=EF+OC，

∴CF=EF，

∴四邊形EFCH為正方形；

（2）∵∠POK=∠OGB，∠PKO=∠OBG，

∴△PKO∽△OBG，

∵S△PKO=4S△OBG，

∴=（）2=4，

∴OP=2，

∴S△POG=OGOP=×1×2=1，

設OB=a，BG=b，則a2+b2=OG2=1，

∴b=，

∴S△OBG=ab=a==，

∴當a2=時，△OBG有最大值，此時S△PKO=4S△OBG=1，

∴四邊形PKBG的最大面積為1+1+=．