Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過點A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8）．

（1）求拋物線的解析式及其頂點D的坐標(biāo)；

（2）直線CD交x軸于點E，過拋物線上在對稱軸的右邊的點P，作y軸的平行線交x軸于點F，交直線CD于M，使PM=EF，請求出點P的坐標(biāo)；

（3）將拋物線沿對稱軸平移，要使拋物線與（2）中的線段EM總有交點，那么拋物線向上最多平移多少個單位長度，向下最多平移多少個單位長度．

Answer 1

【答案】（1），頂點D的坐標(biāo)為（1，﹣9）；（2）P（2，﹣8）；（3）拋物線向上最多平移個單位長度，向下最多平移72個單位長度．

【解析】

試題分析：（1）由于拋物線與x軸的兩個交點已知，拋物線的解析式可設(shè)成交點式：y=a（x+2）（x﹣4），然后將點C的坐標(biāo)代入就可求出拋物線的解析式，再將該解析式配成頂點式，即可得到頂點坐標(biāo)．

（2）先求出直線CD的解析式，再求出點E的坐標(biāo)，然后設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，n），從而可以用m的代數(shù)式表示出PM、EF，然后根據(jù)PM=EF建立方程，就可求出m，進而求出點P的坐標(biāo)．

（3）先求出點M的坐標(biāo)，然后設(shè)平移后的拋物線的解析式為，然后只需考慮三個臨界位置（①向上平移到與直線EM相切的位置，②向下平移到經(jīng)過點M的位置，③向下平移到經(jīng)過點E的位置）所對應(yīng)的c的值，就可以解決問題．

試題解析：（1）根據(jù)題意可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）（x﹣4）．

∵點C（0，﹣8）在拋物線y=a（x+2）（x﹣4）上，∴﹣8a=﹣8，∴a=1，∴y=（x+2）（x﹣4）=，即，∴拋物線的解析式為，頂點D的坐標(biāo)為（1，﹣9）；

（2）如圖，設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，∴，解得：，∴直線CD的解析式為y=﹣x﹣8．當(dāng)y=0時，﹣x﹣8=0，則有x=﹣8，∴點E的坐標(biāo)為（﹣8，0）．

設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，n），則PM= =，EF=m﹣（﹣8）=m+8．

∵PM=EF，∴．整理得：，∴（5m+4）（m﹣2）=0，解得：m=或m=2．∵點P在對稱軸x=1的右邊，∴m=2．此時，n=﹣2×2﹣8=﹣8，∴點P的坐標(biāo)為（2，﹣8）；

（3）當(dāng)m=2時，y=﹣2﹣8=﹣10，∴點M的坐標(biāo)為（2，﹣10）．

設(shè)平移后的拋物線的解析式為，①若拋物線與直線y=﹣x﹣8相切，則方程即有兩個相等的實數(shù)根，∴1﹣4×1×c=0，∴c=；

②若拋物線經(jīng)過點M，則有，∴c=﹣2；

③若拋物線經(jīng)過點E，則有，∴c=﹣72．

綜上所述：要使拋物線與（2）中的線段EM總有交點，拋物線向上最多平移個單位長度，向下最多平移72個單位長度．