Question

已知拋物線y=ax²-2ax+c（a≠0）與y軸交于點C（O，4），與x軸交于點A、B，點A的坐標為（4，0）
（1）求該拋物線解析式；
（2）點Q是線段AB上的動點，過點Q作QE∥AC，交BC于點E，連接OQ，當△OQE的面積最大時，求Q點坐標；
（3）作平行于x軸的直線MN交拋物線于M、N點，以線段MN的長為直徑作圓，當直線MN運動到何處時，以線段MN為直徑的圓與X軸相切？寫出過程；
（4）線段CA上的動點P自C向A以每秒

2

單位長度運動，同時線段AB上動點Q自A向B以每秒1個單位長度運動，當點P到達A點時，P、Q兩點都停止運動．設運動時間為t秒，當t為何值時，以A、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似？

Answer 1

分析：（1）根據拋物線y=ax²-2ax+c（a≠0）與y軸交于點C（O，4），與x軸交于點A（4，0），將經過的兩點的坐標代入到二次函數中即可求得二次函數的解析式；
（2）設Q（m，0），可求得B（-2，0），|BA|=6，|BQ|=m+2，根據QE∥AC得到△BQE∽△BAC，利用相似三角形面積的比等于相似比的平方表示出三角形BEQ的面積，進而表示出三角形CQE的面積，求出最大值即可；
（3）由對稱性和垂徑定理知，圓心必在拋物線對稱軸上，拋物線對稱軸為x=1．然后分當圓心在x軸上方時和當圓心在x軸下方時，兩種情況求得r的值即可；
（4）分△APQ∽△ACB和△APQ∽△ABC兩種情況求得t的值．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²-2ax+c（a≠0）與y軸交于點C（O，4），與x軸交于點A、B，點A的坐標為（4，0）
∴

c=4 16a-8a+c=0

解得：

a=- 1 2 c=4

∴函數關系式為y=-

1

2

x2+x+4；

（2）設Q（m，0），
可求得B（-2，0），|BA|=6，|BQ|=m+2，
因QE∥AC，∴△BQE∽△BAC，∴

S△BEQ

S△ABC

=

BQ2

BA2

，
∴S△BEQ=

(m+2)2

3

．S△CQE=S△BQC-SBEQ=-

1

3

(m-1)2+3(-2＜m＜4)，
當m=1時，面積最大，此時Q（1，0）；

（3）由對稱性和垂徑定理知，圓心必在拋物線對稱軸上，
拋物線對稱軸為x=1．當圓心在x軸上方時，設圓心坐標為（1，r），（r＞0）．
則M（1-r，r），將M點的坐標代入拋物線解析式中得：r=-

1

2

(1-r)2+1-r+4，
解得r=

10

-1．當圓心在x軸下方時，可求得r=-

10

-1，
所以當MN所在的直線解析式為y=

10

-1或y=-

10

-1時，
以線段MN為直徑的圓與x軸相切；

（4）若△APQ∽△ACB時，t=2.4；
若△APQ∽△ABC時，t=

16

7

．

點評：本題考查了二次函數的綜合知識，這類題目往往出現在中考試題的最后一個題中，難度相對較大．